Найпростіший спосіб - розширити область інтеграції та обчислити дискретне наближення до інтеграла.
На що слід звернути увагу:
Не забудьте охопити більше, ніж ступінь балів: вам потрібно включити всі місця, де оцінка щільності ядра матиме будь-які помітні значення. Це означає, що вам потрібно розширити ступінь точок в три-чотири рази більше смуги ядра (для ядра Гаусса).
Результат дещо відрізнятиметься від роздільної здатності растру. Роздільна здатність повинна бути невеликою часткою пропускної здатності. Оскільки час обчислення пропорційний кількості осередків у растрі, для проведення серії обчислень з використанням більш чітких дозволів майже немає зайвого часу, ніж призначений: перевірте, чи результати для більш грубих збігаються за результатом для найкраща роздільна здатність. Якщо їх немає, може знадобитися більш точна роздільна здатність.
Ось ілюстрація для набору даних з 256 балів:
Точки показані у вигляді чорних крапок, накладених на дві оцінки щільності ядра. Шість великих червоних точок є "зондами", за допомогою яких оцінюється алгоритм. Це було зроблено для чотирьох ширини смуги (за замовчуванням між 1,8 (вертикально) і 3 (по горизонталі), 1/2, 1 і 5 одиниць) при роздільній здатності 1000 на 1000 комірок. Наступна матриця розсіювання показує, наскільки сильно результати залежать від пропускної здатності для цих шести точок зонду, які охоплюють широкий діапазон щільності:
Різниця виникає з двох причин. Очевидно, оцінки щільності відрізняються, вводячи одну форму варіації. Що ще важливіше, відмінності в оцінках щільності можуть створювати великі відмінності в будь-якій окремій точці ("зонд"). Остання варіація є найбільшою навколо «меж» скупчень точок середньої щільності - саме тих місць, де цей розрахунок, ймовірно, буде використовуватися найбільше.
Це демонструє необхідність суттєвої обережності у використанні та інтерпретації результатів цих обчислень, оскільки вони можуть бути настільки чутливими до відносно довільного рішення (пропускну здатність, яку слід використовувати).
R код
Алгоритм міститься в півдюжини рядків першої функції, f. Для ілюстрації його використання решта коду формує попередні фігури.
library(MASS) # kde2d
library(spatstat) # im class
f <- function(xy, n, x, y, ...) {
#
# Estimate the total where the density does not exceed that at (x,y).
#
# `xy` is a 2 by ... array of points.
# `n` specifies the numbers of rows and columns to use.
# `x` and `y` are coordinates of "probe" points.
# `...` is passed on to `kde2d`.
#
# Returns a list:
# image: a raster of the kernel density
# integral: the estimates at the probe points.
# density: the estimated densities at the probe points.
#
xy.kde <- kde2d(xy[1,], xy[2,], n=n, ...)
xy.im <- im(t(xy.kde$z), xcol=xy.kde$x, yrow=xy.kde$y) # Allows interpolation $
z <- interp.im(xy.im, x, y) # Densities at the probe points
c.0 <- sum(xy.kde$z) # Normalization factor $
i <- sapply(z, function(a) sum(xy.kde$z[xy.kde$z < a])) / c.0
return(list(image=xy.im, integral=i, density=z))
}
#
# Generate data.
#
n <- 256
set.seed(17)
xy <- matrix(c(rnorm(k <- ceiling(2*n * 0.8), mean=c(6,3), sd=c(3/2, 1)),
rnorm(2*n-k, mean=c(2,6), sd=1/2)), nrow=2)
#
# Example of using `f`.
#
y.probe <- 1:6
x.probe <- rep(6, length(y.probe))
lims <- c(min(xy[1,])-15, max(xy[1,])+15, min(xy[2,])-15, max(xy[2,]+15))
ex <- f(xy, 200, x.probe, y.probe, lim=lims)
ex$density; ex$integral
#
# Compare the effects of raster resolution and bandwidth.
#
res <- c(8, 40, 200, 1000)
system.time(
est.0 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, lims=lims)$integral))
est.0
system.time(
est.1 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, h=1, lims=lims)$integral))
est.1
system.time(
est.2 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, h=1/2, lims=lims)$integral))
est.2
system.time(
est.3 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, h=5, lims=lims)$integral))
est.3
results <- data.frame(Default=est.0[,4], Hp5=est.2[,4],
H1=est.1[,4], H5=est.3[,4])
#
# Compare the integrals at the highest resolution.
#
par(mfrow=c(1,1))
panel <- function(x, y, ...) {
points(x, y)
abline(c(0,1), col="Red")
}
pairs(results, lower.panel=panel)
#
# Display two of the density estimates, the data, and the probe points.
#
par(mfrow=c(1,2))
xy.im <- f(xy, 200, x.probe, y.probe, h=0.5)$image
plot(xy.im, main="Bandwidth=1/2", col=terrain.colors(256))
points(t(xy), pch=".", col="Black")
points(x.probe, y.probe, pch=19, col="Red", cex=.5)
xy.im <- f(xy, 200, x.probe, y.probe, h=5)$image
plot(xy.im, main="Bandwidth=5", col=terrain.colors(256))
points(t(xy), pch=".", col="Black")
points(x.probe, y.probe, pch=19, col="Red", cex=.5)
