Визначення часу автокореляції (для ефективного розміру вибірки)

У літературі я знайшов два визначення щодо часу автокореляції слабо нерухомого часового ряду:

$$\tau_a = 1+2\sum_{k=1}^\infty \rho_k \quad \text{versus} \quad \tau_b = 1+2\sum_{k=1}^\infty \left|\rho_k\right|$$

де - автокореляція в відстані . $\rho_k = \frac{\text{Cov}[X_t,X_{t+h}]}{\text{Var}[X_t]}$$k$

Одним із застосувань часу автокореляції є пошук "ефективного розміру вибірки": якщо у вас є спостережень за тимчасовим рядом, і ви знаєте його час автокореляції , ви можете зробити вигляд, що у вас є$n$$\tau$

$$n_\text{eff} = \frac{n}{\tau}$$

незалежні вибірки замість співвідносних з метою знаходження середнього. Оцінка даних за даними нетривіальна, але є кілька способів зробити це (див. Thompson 2010 ).$n$$\tau$

Визначення без абсолютних значень здається більш поширеним у літературі; але вона допускає можливість . Використовуючи R та пакет "coda":$\tau_a$$\tau_a<1$

require(coda)
ts.uncorr <- arima.sim(model=list(),n=10000)         # white noise 
ts.corr <- arima.sim(model=list(ar=-0.5),n=10000)    # AR(1)
effectiveSize(ts.uncorr)                             # Sanity check
    # result should be close to 10000
effectiveSize(ts.corr)
    # result is in the neighborhood of 30000... ???

Функція "ефективні " в "коді" використовує визначення часу автокореляції, еквівалентного , вище. Є кілька інших пакетів R, які обчислюють ефективний розмір вибірки або час автокореляції, і всі ті, що я намагався, дають результати, що відповідають цьому: що процес AR (1) з негативним коефіцієнтом AR має більш ефективні вибірки, ніж корельований часовий ряд. Це здається дивним. $\tau_a$

Очевидно, це ніколи не може трапитися у визначенні часу автокореляції.$\tau_b$

Яке правильне визначення часу автокореляції? Щось не так у моєму розумінні ефективних розмірів вибірки? результат , показаний вище , здається , що це має бути неправильно ... що відбувається?$n_\text{eff} > n$

По-перше, відповідне визначення поняття "ефективний розмір вибірки" пов'язане з цілком конкретним питанням. Якщо однаково розподілені з середнім ц і дисперсією 1 емпіричне середнє ц = $X_1, X_2, \ldots$$\mu$ - неупереджений оцінювачμ. А як щодо його дисперсії? Длянезалежнихзмінних дисперсія дорівнюєn-1. Для слабо стаціонарних часових рядів, дисперсія ц є

$$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$$ $\mu$$n^{-1}$$\hat{\mu}$ Апроксимація справедлива для досить великихn. Якщо визначитиneff=n/τa, дисперсія середнього емпіричного для слабостаціонарного часового ряду становить приблизноn - 1 eff , що є такою ж дисперсією, як якщо б ми малиneffнезалежних вибірок. Таким чином,neff=n/τa- це відповідне визначення, якщо ми попросимо дисперсію емпіричного середнього. Це може бути недоцільним для інших цілей. $$\frac{1}{n^2} \sum_{k, l=1}^n \text{cov}(X_k, X_l) = \frac{1}{n}\left(1 + 2\left(\frac{n-1}{n} \rho_1 + \frac{n-2}{n} \rho_2 + \ldots + \frac{1}{n} \rho_{n-1}\right) \right) \simeq \frac{\tau_a}{n}.$$ $n$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$$n_{\text{eff}}^{-1}$$n_{\text{eff}}$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$

При негативній кореляції між спостереженнями, безумовно, можливо, що дисперсія може стати меншою ніж ( n eff > n ). Це добре відома методика зменшення дисперсії в інтеграції Monto Carlo: Якщо ми введемо негативну кореляцію між змінними замість кореляції 0, ми можемо зменшити дисперсію, не збільшуючи розмір вибірки.$n^{-1}$$n_{\text{eff}} > n$

див. http://arxiv.org/pdf/1403.5536v1.pdf

і

https://cran.r-project.org/web/packages/mcmcse/mcmcse.pdf

для ефективного розміру вибірки. Я думаю, що альтернативна рецептура з використанням співвідношення дисперсії вибірки та асимптотичної дисперсії ланцюга Маркова через серійне середнє значення є більш підходящим оцінником.