Утворіть пари випадкових чисел, рівномірно розподілених і співвіднесених

Я хотів би генерувати пари випадкових чисел з певною кореляцією. Однак звичайний підхід використання лінійної комбінації двох нормальних змінних тут недійсний, оскільки лінійна комбінація рівномірних змінних вже не є рівномірно розподіленою змінною. Мені потрібні дві змінні, щоб вони були рівномірними.

Будь-яка ідея про те, як генерувати пари однорідних змінних із заданою кореляцією?

Мені не відомий універсальний метод генерування корельованих випадкових величин з будь-якими граничними розподілами. Отже, я запропоную спеціальний метод для генерування пар рівномірно розподілених випадкових змінних із заданою кореляцією Пірсона. Не втрачаючи загальності, я вважаю, що бажаний граничний розподіл є стандартним рівномірним (тобто опора дорівнює ).$[0, 1]$

Пропонований підхід спирається на таке:
а) Для стандартних рівномірних випадкових величин і з відповідними функціями розподілу і маємо , при . Таким чином, за визначенням rho Спірмена є Отже, коефіцієнт кореляції Спірмана та Пірсона рівні (однак версії зразків можуть, однак, відрізнятися).$U_1$$U_2$$F_1$$F_2$$F_i(U_i) = U_i$ρ S ( U 1 , U 2 ) = c o r r ( F 1 ( U 1 ) , F 2 ( U 2 ) ) = c o r r ( U 1 , $i = 1, 2$

б) Якщо - випадкові величини з безперервними полями, а копула Гаусса з коефіцієнтом кореляції (Пірсона) , то Спірмена є Це дозволяє легко генерувати випадкові величини, які мають бажане значення rho Spearman.$X_1, X_2$$\rho$

Підхід полягає у формуванні даних з копули Гаусса з відповідним коефіцієнтом кореляції таким, що rho Spearman відповідає бажаній кореляції для рівномірних випадкових величин.$\rho$

Алгоритм моделювання
Нехай позначає бажаний рівень кореляції, а кількість пар, які потрібно генерувати. Алгоритм:$r$$n$

1. Обчисліть .$\rho = 2\sin (r \pi/6)$
2. Створити пару випадкових змінних з копули Гаусса (наприклад, при такому підході )
3. Повторіть крок 2 рази.$n$

Приклад
Наступний код є прикладом реалізації цього алгоритму з використанням R з цільовою кореляцією і пар.$r = 0.6$$n = 500$

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
r <- 0.6                            # Target (Spearman) correlation
n <- 500                            # Number of samples

## Functions
gen.gauss.cop <- function(r, n){
    rho <- 2 * sin(r * pi/6)        # Pearson correlation
    P <- toeplitz(c(1, rho))        # Correlation matrix
    d <- nrow(P)                    # Dimension
    ## Generate sample
    U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))
    return(U)
}

## Data generation and visualization
U <- gen.gauss.cop(r = r, n = n)
pairs(U, diag.panel = function(x){
          h <- hist(x, plot = FALSE)
          rect(head(h$breaks, -1), 0, tail(h$breaks, -1), h$counts/max(h$counts))})

На малюнку нижче діагональні графіки показують гістограми змінних та , а графіки показують графіки розкиду та . $U_1$$U_2$$U_1$$U_2$

За кондукцією випадкові величини мають однакові межі та коефіцієнт кореляції (близький до) . Але через ефект вибірки коефіцієнт кореляції модельованих даних не точно дорівнює .$r$$r$

cor(U)[1, 2]
# [1] 0.5337697

Зауважте, що gen.gauss.copфункція повинна працювати з більш ніж двома змінними, просто вказавши більшу кореляційну матрицю.

Модельне дослідження
Наступне дослідження моделювання, повторене для цільової кореляції дозволяє припустити, що розподіл коефіцієнта кореляції збільшиться до потрібної кореляції у міру збільшення розміру вибірки .$r= -0.5, 0.1, 0.6$$n$

## Simulation
set.seed(921)
r <- 0.6                                                # Target correlation
n <- c(10, 50, 100, 500, 1000, 5000); names(n) <- n     # Number of samples
S <- 1000                                               # Number of simulations

res <- sapply(n,
              function(n, r, S){
                   replicate(S, cor(gen.gauss.cop(r, n))[1, 2])
               }, 
               r = r, S = S)
boxplot(res, xlab = "Sample size", ylab = "Correlation")
abline(h = r, col = "red")

$u_1$$U(0,1)$$u_1$$w_1$$U(0,1)$$I = 1$$u_1$$w_2$$U(0,1)$$I = 0$$u_1$$U(0,1)$$u_2$

$E(u_1 u_2) = E[I w_1 + (1-I) w_2][I w_1 + (1-I) w_3]$

$I(I-1)=0$$I^2=I$$(1-I)^2=(1-I)$$I$$0$$1$$I$$w$

$E(u_1 u_2) = E(I)E(w_1^2) + E(1-I)E(w_2)E(w_3)$ $=pE(w_1^2)+(1-p)/4$

$V(w_1)=1/12$$E(w_1^2)=1/3$$E(u_1 u_2) = p/12 + 1/4$$cov(u_1 u_2) = p/12$$V(u_1)=V(u_2)=1/12$$cor(u_1, u_2) = p$

$(u_1, u_2) = Iw_1 + (1-I) (w_2, w_3)$$w_1, w_2,$$w_3$$U(0,1)$$I$$p$$u_1$$u_2$$U(0,1)$$p$$k$

$(u_1, u_2) = I(w_1, 1-w_1) + (1-I)(w_2, w_3)$$-p$