Досяжна кореляція експоненціальних випадкових величин

Який діапазон досяжних кореляцій для пари експоненціально розподілених випадкових величин і , де є параметри швидкості?X 2 ∼ E x p ( λ 2 ) λ 1 , λ 2 > $X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$$X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$$\lambda_1, \lambda_2 > 0$

Нехай $\rho_{\min}$ (відповідно. $\rho_{\max}$ ) позначає нижню (відповідно верхню) межу досяжної кореляції між $X_1$ і $X_2$ . Межі $\rho_{\min}$ і $\rho_{\max}$ досягаються, коли $X_1$ і $X_2$ є відповідно контрмонотонними та комонотонічними (див. Тут ).

Нижня межа
Для визначення нижньої межі побудуємо парні контрмонотонні експоненціальні змінні та обчислимо їх кореляцію.$\rho_{\min}$

Згадана тут необхідна та достатня умова та інтегральне перетворення ймовірності забезпечують зручний спосіб побудови випадкових величин та таким чином, що вони є контрмонотонними. Нагадаємо, що функція експоненціального розподілу дорівнює , тому квантильна функція .X 2 F ( x ) = 1 - exp ( - λ x ) F - 1 ( q ) = - λ - 1 log ( 1 - q $X_1$$X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$$F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

Нехай - рівномірно розподілені випадкові величини, тоді також рівномірно розподілений і випадкові змінні мають експоненціальний розподіл зі швидкістю та відповідно. Крім того, вони є оскільки і , а функції і відповідно збільшуються та зменшуються.$U\sim U(0, 1)$X 1 = - λ - 1 1 журнал ( 1 - U ) $1-U$λ

$$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$$ $\lambda_1$X 1 = h 1 ( U ) X 2 = h 2 ( U ) h 1 ( x ) = - λ - 1 1 log ( 1 - x ) h 2 ( x ) = - λ - 1 1 log ( x $\lambda_2$$X_1 = h_1(U)$$X_2 = h_2(U)$$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

Тепер давайте обчислимо співвідношення та . За властивостями експоненціального розподілу маємо , , , і . Також у нас є деX 2 E ( X 1 ) = λ - 1$X_1$$X_2$${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$ v a r ( X 1 ) = λ - 2 1 v a r ( X 2 ) = λ - 2${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$$ $f_U(u) \equiv 1$- функція щільності стандартного рівномірного розподілу. За останню рівність я покладався на ВольфрамАльфа .

Таким чином, Зауважте, що нижня межа не залежить від ставок та , і що кореляція ніколи не досягає , навіть коли обидві поля рівні (тобто коли ).

$$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$-1$$\lambda_1 = \lambda_2$

Верхня межа
Для визначення верхньої межі ми дотримуємось аналогічного підходу з парою комотонічних експоненціальних змінних. Тепер нехай і де і , які обидві функції, що збільшуються. Отже, ці випадкові величини є комотонічними і обидві експоненціальні розподілені зі швидкістю та .$\rho_{\max}$$X_1 = g_1(U)$$X_2 = g_2(U)$$g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$$\lambda_1$$\lambda_2$

У нас є і, таким чином, Як і нижня межа, верхня межа не залежить від ставок та .

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$