Процес AR (1) з помилками гетеросцедастичного вимірювання

1. Проблема

У мене є деякі вимірювання змінної , де , для яких у мене є розподіл отриманий через MCMC, що для простоти, я вважаю, є гауссом середнього значення та дисперсія . т = 1 , 2 , . . , n f y t ( y t ) μ t σ 2 $y_t$$t=1,2,..,n$$f_{y_t}(y_t)$$\mu_t$$\sigma_t^2$

У мене є фізична модель для цих спостережень, скажімо, , але залишки виявляються співвіднесеними; зокрема, у мене є фізичні причини вважати, що процес буде достатнім для врахування кореляції, і я планую отримати коефіцієнти придатності через MCMC, для чого мені потрібна ймовірність . Я думаю, що рішення досить просте, але я не дуже впевнений (це здається таким простим, що я думаю, що мені чогось не вистачає).r t = μ t - g ( t ) A R ( 1 $g(t)$$r_t = \mu_t-g(t)$$AR(1)$

2. Виведення ймовірності

Нульовий середній процес може бути записаний у вигляді: де я припускаю . Параметри, що підлягають оцінці, значить, (у моєму випадку я також повинен додати параметри моделі , але це не проблема). Однак я помічаю змінну де я припускаю, що , і відомі ( похибки вимірювання). Оскільки є гауссовим процесом, також є. Зокрема, я це знаю X t = ϕ X t - 1 + ε t , ( 1 ) ε t ∼ N ( 0 , σ 2 w ) θ = 0 $AR(1)$

$$X_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_t,\ \ \ (1)$$ $\varepsilon_t\sim N(0,\sigma_w^2)$g(t)Rt=Xt$\theta = \{\phi,\sigma_w^2\}$$g(t)$η t ∼ N $$R_t = X_t+\eta_t,\ \ \ (2)$$ σ 2 t X t R t X 1 ∼ N ( 0 , σ 2 w / [ 1 - ϕ 2 ] ) $\eta_t\sim N(0,\sigma_t^2)$$\sigma_t^2$$X_t$$R_t$ $$X_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]),$$ отже, Наступним завданням є отримання для . Для отримання розподілу цієї випадкової величини, зауважте, що, використовуючи eq. Я можу записати використовуючи еквівалент. та, використовуючи визначення рівняння. , можу написати, Використання рівняння у цьому останньому виразі я отримую, таким чином, R t | R t - 1 t ≠ 1 ( 2 ) X t - 1 + ε t + η t . ( 3 ) R t = ϕ ( R t - 1 - $$R_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2).$$ $R_t|R_{t-1}$$t\neq 1$$(2)$(2)(1) $$X_{t-1} = R_{t-1}-\eta_{t-1}.\ \ \ (3)$$ $(2)$$(1)$ $$R_{t} = X_t+\eta_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_{t}+\eta_t.$$ $(3)$ $$R_{t} = \phi (R_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$$ $$R_t|R_{t-1} = \phi (r_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$$ а отже, Нарешті, я можу записати функцію ймовірності як де - розподіли змінних, які я щойно визначив, .ie, визначаючи і визначаючи , $$R_t|R_{t-1} \sim N(\phi r_{t-1},\sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}).$$ $$L(\theta) = f_{R_1}(R_1=r_1) \prod_{t=2}^{n} f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1}),$$ $f(\cdot)$$\sigma'^2 = \sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2,$ $$f_{R_1}(R_1=r_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma'^2}}\text{exp}\left(-\frac{r_1^2}{2\sigma'^2}\right),$$ $\sigma^2(t) = \sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}$ $$f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2(t)}}\text{exp}\left(-\frac{(r_t-\phi r_{t-1})^2}{2\sigma^2(t)}\right)$$

3. Запитання

1. Моє виведення добре? У мене немає ніяких ресурсів для порівняння, крім симуляцій (які, схоже, згодні), і я не статистик!
2. Чи є в літературі виведення подібних речей для процесів або для процесів ? $MA(1)$$ARMA(1,1)$Загалом, дослідження для які можуть бути деталізовані для цього випадку, було б непоганим.$ARMA(p,q)$

1. Ви на правильному шляху, але ви помилилися, отримавши розподіл заданий : умовне середнє значення не . Це , де - ваша найкраща оцінка за попередній період. Значення включає інформацію з попередніх спостережень, а також . (Щоб побачити це, розгляньте ситуацію, коли і незначні, тому ви ефективно оцінюєте фіксовану середню . Після безлічі спостережень ваша невизначеність щодо буде значно меншою, ніж$R_t$$R_{t-1}$$\phi r_{t-1}$$\phi \widehat{x}_{t-1}$$\widehat{x}_{t-1}$$X$$\widehat{x}_{t-1}$$r_{t-1}$$\sigma_w$$\phi$$X$$\sigma_{\eta}$ .) Це може привести до плутанини в перший, тому що ви спостерігаєте і . Це просто означає, що ви маєте справу з державно-просторовою моделлю .$R$$X$

2. Так, існує дуже загальна основа для використання лінійно-гауссових моделей із галасливими спостереженнями, що називається фільтром Калмана . Це стосується всього, що має структуру ARIMA та багатьох інших моделей. Змінюється час добре для фільтра Калмана, за умови, що він не стохастичний. Моделі, наприклад, стохастична мінливість, потребують більш загальних методів. Щоб побачити, як виходить фільтр Кальмана, спробуйте Дурбін-Коопман або розділ 3 Харві . У позначенні Гарві ваша модель має , , , , і .$\sigma_{\eta}$$Z=1$$d=c=0$$H_t = \sigma_{\eta,t}^2$$T=\phi$$R=1$$Q=\sigma^2_w$

Чесно кажучи, ви повинні зашифрувати це в BUGs або STAN і не турбуватися про це звідти. Якщо це не теоретичне питання.