Максимальний вірогідність оцінки

Як я можу побудувати асимптотичний інтервал довіри для реального параметра, починаючи з MLE для цього параметра?

Один із способів підійти до цієї проблеми - це використовувати метод delta: en.wikipedia.org/wiki/Delta_method

Я помітив, що є голоси, щоб закрити це питання як занадто широке, але є загальна теорема про асимптотичну поведінку MLE, про яку можна коротко сказати. Я даю лаконічну відповідь, що трохи пізніше розгорнусь.

— Scortchi

Використовуйте той факт , що для н.о.р. вибірки розміру , з огляду на деякі умови регулярності, ОМП є спроможною оцінкою істинного параметра & , & її розподіл асимптотично нормальний, з дисперсією визначається зворотної інформації Фішера: $n$ $\hat{\theta}$ $\theta_0$

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ_{0}) \to N (0, \frac{1}{I_{1} (θ_{0})})

$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}-\theta_0\right) \rightarrow \mathcal{N}\left(0,\frac{1}{\mathcal{I}_1(\theta_0)}\right)$ де - інформація про Фішера з одного зразка. Інформація, що спостерігається в MLE має тенденцію до асимптотично очікуваної інформації, тому ви можете обчислити (скажімо, 95%) довірчі інтервали з

I_{1} (θ_{0})

$\mathcal{I}_1(\theta_0)$

I (\hat{θ})

$I(\hat{\theta})$

\hat{θ} \pm \frac{1.96}{\sqrt{n I_{1} (\hat{θ})}}

$\hat{\theta} \pm \frac{1.96}{\sqrt{nI_1\left(\hat\theta\right)}}$

Наприклад, якщо - нульова в'язана зміна Пуассона, ви можете отримати формулу спостережуваної інформації з точки зору MLE (яку потрібно обчислити чисельно): $X$

f (x) = \frac{e^{- θ} θ^{x}}{x! (1 - e^{- θ})}

$\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\newcommand{\d}{\operatorname{d}}f(x) = \frac{\e^{-\theta}\theta^x}{x!(1-e^{-\theta})}$

ℓ (θ) = - θ + x \log θ - \log (1 - e^{- θ})

$\ell(\theta)=-\theta+ x\log\theta -\log(1-\e^{-\theta})$

\frac{г ℓ (θ)}{г θ} = - 1 + \frac{х}{θ} - \frac{е^{- θ}}{1 - е^{- θ}}

$\frac{\d\ell(\theta)}{\d\theta} = -1 +\frac{x}{\theta} - \frac{\e^{-\theta}}{1-\e^{-\theta}}$

Я_{1} (\hat{θ}) = - \frac{г^{2} ℓ (\hat{θ})}{{(г \hat{θ})}^{2}} = \frac{х}{\hat{θ}} - \frac{е^{- \hat{θ}}}{{(1 - е^{- \hat{θ}})}^{2}}

$I_1\left(\hat{\theta}\right)=-\frac{\d^2\ell\left(\hat\theta\right)}{\left(\d\hat\theta\right)^2} = \frac{x}{\hat\theta} - \frac{\e^{-\hat\theta}}{\left(1-\e^{-\hat{\theta}}\right)^2}$

Помітні випадки, що виключаються умовами регулярності, включають випадки, коли

параметр визначає підтримку даних, наприклад, вибірку з рівномірного розподілу між нулем та $\theta$ $\theta$
кількість неприємних параметрів збільшується з розміром вибірки

— Скорчі - Відновлення Моніки
джерело

Чи застосовується цей метод немодифікований, коли є обмеження щодо , наприклад ? Як щодо MLE для параметрів , таких що і ?

θ

$\theta$

θ \in [0, 1]

$\theta \in [0, 1]$

N

$N$

θ_{i}

$\theta_i$

i = 0, . . ., N - 1

$i=0,...,N-1$

\sum_{i = 0}^{N - 1} θ_{i} = 1

$\sum_{i=0}^{N-1} \theta_i = 1$

θ_{i} \in [0, 1]

$\theta_i \in [0,1]$

— Quant_dev

Якщо , тобто справжнє значення не дорівнює одному з меж.

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0, 1)$

— Scortchi

Якщо і, чи не означає це, що нормальне наближення не застосовується, і мені потрібно більше зразків?

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0,1)$

σ (\hat{θ}) > | \hat{θ} |

$\sigma(\hat{\theta}) > |\hat{\theta}|$

— Quant_dev

Так, це лише асимптотичний інтервал довіри.

— Scortchi

@quant_dev: Ні: ви б шукали трансформацію параметрів, що зробили апроксимацію Норма пристойною - або використали інший метод.

— Scortchi

Максимальний вірогідність оцінки - довірчий інтервал