Експоненціальна зважена рухомість / куртоз

Існують добре відомі он-лайн формули для обчислення експоненціально зважених ковзних середніх значень і стандартних відхилень процесу $(x_n)_{n=0,1,2,\dots}$ . У середньому,

$\mu_n = (1-\alpha) \mu_{n-1} + \alpha x_n$

і для дисперсії

$\sigma_n^2 = (1-\alpha) \sigma_{n-1}^2 + \alpha(x_n - \mu_{n-1})(x_n - \mu_n)$

з якого можна обчислити стандартне відхилення.

Чи існують подібні формули для он-лайн обчислення експоненціально зважених третього та четвертого центральних моментів? Моя інтуїція полягає в тому, що вони повинні приймати форму

$M_{3,n} = (1-\alpha) M_{3,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1})$

і

$M_{4,n} = (1-\alpha) M_{4,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1},M_{3,n},M_{3,n-1})$

з якого можна було б обчислити похилість та куртоз k n = M 4 , n / σ 4 n, але мені не вдалося знайти просте вираз із закритою формою для функцій f і g .$\gamma_n = M_{3,n} / \sigma_n^3$$k_n = M_{4,n}/\sigma_n^4$$f$$g$

---

Редагувати: ще трохи інформації. Формула оновлення рухомої дисперсії - особливий випадок формули експоненціальної зваженої коваріації, яка може бути обчислена через

$C_n(x,y) = (1-\alpha) C_{n-1}(x,y) + \alpha (x_n - \bar{x}_n) (y_n - \bar{y}_{n-1})$

де і ˉ y n - експоненціальні рухомі засоби x і y . Асиметрія між x і y є ілюзорною і зникає, коли ви помічаєте, що y - ˉ y n = ( 1 - α ) ( y - ˉ y n - 1 ) .$\bar{x}_n$$\bar{y}_n$$x$$y$$x$$y$$y-\bar{y}_n = (1-\alpha) (y-\bar{y}_{n-1})$

Такі формули можна обчислити, записавши центральний момент як очікування , де ваги в очікуванні розуміють як експоненціальні, і використовуючи той факт, що для будь-якої функції f ( x ) маємо$E_n(\cdot)$$f(x)$

$E_n(f(x)) = \alpha f(x_n) + (1-\alpha) E_{n-1}(f(x))$

За допомогою цього відношення легко отримати формули оновлення для середньої та різниці, але це виявляється більш складним для третього та четвертого центральних моментів.

Формули прості, але вони не такі прості, як інтимні в питанні.

Нехай буде попереднє EWMA і нехай Х = х п , який імовірно залежить від Y . За визначенням нове середньозважене середнє значення Z = α X + ( 1 - α ) Y для постійного значення α . Для нотаційної зручності встановіть β = 1 - α . Нехай F позначає CDF випадкової величини і ϕ позначає її функцію , що генерує момент , так що$Y$$X = x_n$$Y$$Z = \alpha X + (1 - \alpha)Y$$\alpha$$\beta = 1-\alpha$$F$$\phi$

$$\phi_X(t) = \mathbb{E}_F[\exp(t X)] = \int_\mathbb{R}{\exp(t x) dF_X(x)}.$$

За Кендалла та Стюарта нехай позначають не центральний момент порядкуkдля випадкової величиниZ; тобто$\mu_k^{'}(Z)$$k$$Z$. Перекісіексцесвиражається в термінах$\mu_k^{'}(Z) = \mathbb{E}[Z^k]$приk=1,2,3,4; наприклад, перекіс визначається якмкм3/μ 3 / 2 2де$\mu_k^{'}$$k = 1,2,3,4$$\mu_3 / \mu_2^{3/2}$

$$\mu_3 = \mu_3^{'} - 3 \mu_2^{'}\mu_1^{'} + 2{\mu_1^{'}}^3 \text{ and }\mu_2 = \mu_2^{'} - {\mu_1^{'}}^2$$

are the third and second central moments, respectively.

By standard elementary results,

$$\eqalign{ &1 + \mu_1^{'}(Z) t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Z) t^2 + \frac{1}{3!} \mu_3^{'}(Z) t^3 + \frac{1}{4!} \mu_4^{'}(Z) t^4 +O(t^5) \cr &= \phi_Z(t) \cr &= \phi_{\alpha X}(t) \phi_{\beta Y}(t) \cr &= \phi_X(\alpha t) \phi_Y(\beta t) \cr &= (1 + \mu_1^{'}(X) \alpha t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(X) \alpha^2 t^2 + \cdots) (1 + \mu_1^{'}(Y) \beta t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Y) \beta^2 t^2 + \cdots). }$$

To obtain the desired non-central moments, multiply the latter power series through fourth order in $t$ and equate the result term-by-term with the terms in $\phi_Z(t)$.

I think that the following updating formula works for the third moment, although I'd be glad to have someone check it:

$M_{3,n} = (1-\alpha)M_{3,n-1} + \alpha \Big[ x_n(x_n-\mu_n)(x_n-2\mu_n) - x_n\mu_{n-1}(\mu_{n-1}-2\mu_n) - \dots$ $\dots - \mu_{n-1}(\mu_n-\mu_{n-1})^2 - 3(x_n-\mu_n) \sigma_{n-1}^2 \Big]$

Updating formula for the kurtosis still open...