Приклад суворої нерівності фон Неймана

Нехай позначає ризик Байєса оцінювача щодо попереднього , нехай позначає набір усіх пріорів на просторі параметрів , а позначає набір всі правила (можливо рандомізовані) рішення. $r(\pi, \delta)$ $\delta$ $\pi$ $\Pi$ $\Theta$ $\Delta$

Статистичне тлумачення нерівномірності мінімакса Джона фон Неймана говорить про це

sup_{π \in Π} inf_{δ \in Δ} r (π, δ) \leq inf_{δ \in Δ} sup_{π \in Π} r (π, δ),

$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$

із суворою рівністю, гарантованою для деяких $\delta'$ і $\pi'$ коли $\Theta$ і $\Delta$ обоє кінцеві.

Чи може хтось навести конкретний приклад, коли нерівність сувора?

bayesian decision-theory risk

— Нік
джерело

На форумі з математики є чисто математичний приклад .

— Сіань

Приклад суворої нерівності фон Неймана має місце, коли функція ризику задовольняє наступним умовам для деяких значень (де перше значення "низьке", а друге - "високе"): $r$ $r_0 < r_1$

\begin{matrix} \forall π \in Π, \exists δ \in Δ : & r (π, δ) = r_{0}, & (1) \\ \forall δ \in Δ, \exists π \in Π : & r (π, δ) = r_{1} . & (2) \end{matrix}

$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$

Перша умова говорить про те, що незалежно від попереднього, завжди існує правило прийняття рішення з низьким ризиком , яке дає . Друга умова говорить про те, що незалежно від правила прийняття рішення завжди існує деяке попереднє надання високого ризику , що дає . $r_0$ $\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$ $r_1$ $\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

Інший спосіб констатувати цю ситуацію полягає в тому, що не існує правила прийняття рішення (вибирається перед тим, як побачити попереднє), яке гарантує низький ризик для кожного попереднього (іноді це матиме високий ризик), але для кожного попереднього існує певне правило прийняття рішення (вибирається після побачення попереднє), що гарантує низький ризик. Іншими словами, для того, щоб нав'язати низьку межу ризику, нам потрібно адаптувати наше правило прийняття рішення до попереднього .

Приклад: Простий приклад подібної ситуації виникає, коли у вас є пара допустимих пріорів та пара допустимих правил рішення з такою матрицею ризику: $\pi_0, \pi_1$ $\delta_0, \delta_1$

\begin{array}{ll} r (π_{0}, δ_{0}) = r_{0} & r (π_{1}, δ_{0}) = r_{1}, \\ r (π_{0}, δ_{1}) = r_{1} & r (π_{1}, δ_{1}) = r_{0} . \end{array}

$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$

У цьому випадку немає правила прийняття рішень, яке гарантує низький ризик щодо обох пріорів, але для кожного попереднього є правило, яке має низький ризик. Ця ситуація задовольняє наведеним вище умовам, що дає сувору нерівність у нерівності фон Неймана.

— Бен - Відновлення Моніки
джерело