Як можливо, що Poisson GLM приймає не цілі числа?

Я дуже вражений тим, що Poisson GLM приймає не цілі числа! Подивіться:

Дані (вміст data.txt):

1   2001    0.25  1
1   2002    0.5   1
1   2003    1     1
2   2001    0.25  1
2   2002    0.5   1
2   2003    1     1

R скрипт:

t        <- read.table("data.txt")
names(t) <- c('site', 'year', 'count', 'weight')
tm       <- glm(count ~ 0 + as.factor(site) + as.factor(year), data = t, 
                family = "quasipoisson")  # also works with family="poisson"
years    <- 2001:2003
plot(years, exp(c(0, tail(coef(tm), length(years)-1))), type = "l")

Індекс отриманого року є "очікуваним", тобто 1-2-4в роках 2001-2003.

Але як можливо, що Poisson GLM приймає не цілі числа? Розподіл Пуассона завжди був лише цілим числом!

r generalized-linear-model poisson-distribution poisson-regression

— Цікавий
джерело

Чи можете ви уточнити, що саме ви хочете знати? Як алгоритм підгонки має справу з нецілими числами? Або чому R не перевіряє, чи відповідь є цілим числом? Або чи є щось неправильне в результаті, коли постачаються нецілі числа?

— Момо

@Momo, так, всі ці питання цікаві!

— Цікаво

Відредагуйте своє запитання, щоб це відобразити. Ви, швидше за все, отримаєте хорошу відповідь таким чином.

— Момо

Не те, що це насправді має значення, як це правда family="poisson"також, але зауважте, що ваш приклад - це не Poisson GLM, як ви використовуєте quasipoissonсімейство, яке все одно залежить лише від співвідношення між середньою та дисперсією, так що у випадку, не повинно бути несподіванкою щодо прийому не цілих чисел.

— Аарон залишив стек переповнення

Ось кілька посилань на те, чому це може мати сенс.

— Мастеров Димитрій Васильович

Відповіді:

Звичайно, ви вірні, що розподіл Пуассона технічно визначено лише для цілих чисел. Однак статистичне моделювання є мистецтвом хороших наближень (" всі моделі неправильні "), і бувають випадки, коли є сенс трактувати не цілі дані як би [приблизно] Пуассона.

Наприклад, якщо ви надсилаєте двох спостерігачів, щоб записати однакові дані підрахунку, може статися, що два спостерігачі не завжди погоджуються на підрахунок - один може сказати, що щось трапилося 3 рази, а інший сказав, що це сталося 4 рази. Тоді приємно мати можливість використовувати 3,5 при встановленні коефіцієнтів Пуассона, замість того, щоб вибирати між 3 і 4.

Обчислено, що факторіал у Пуассоні може ускладнити роботу з не цілими числами, але існує суцільне узагальнення факторіалу. Більше того, виконання максимальної оцінки ймовірності для Пуассона навіть не передбачає факторіальної функції, коли ви спростите вираз .

— zkurtz
джерело

Для відповіді , якщо припустити, що логарифм його очікування є лінійною комбінацією предикторів & її дисперсія дорівнює його очікуванню то послідовні оцінки регресії коефіцієнти можна отримати, розв’язавши рівняння балів для моделі Пуассона: $y$ $\renewcommand{\vec}[1]{\boldsymbol{#1}}\vec{x}$

E Y_{i} = \exp β^{T} x_{i}

$\operatorname{E}Y_i=\exp{\vec\beta^{\mathrm{T}}\vec{x}_i}$

Var Y_{i} = E Y_{i}

$\operatorname{Var}Y_i=\operatorname{E}Y_i$

β

$\vec\beta$

\sum_{i}^{n} x_{i} (y_{i} - \exp β^{T} x_{i}) = 0

$\sum_i^n{\vec{x}_i\left(y_i-\exp{\vec\beta^{\mathrm{T}}\vec{x}_i}\right)}=0$ Звичайно, послідовність не означає достовірність будь-яких тестів або довірчих інтервалів; ймовірність не була визначена.

Це випливає з підходу, який ми вивчили в школі, і веде до узагальнених рівнянь оцінювання .

@ Аарон зазначив, що ви фактично використовуєте квазі-Пуассон, який відповідає вашому коду. Це означає, що дисперсія пропорційна середньому

Var Y_{i} = ϕ E Y_{i}

$\operatorname{Var}Y_i=\phi\operatorname{E}Y_i$

з параметром дисперсії $\phi$

— Скорчі - Відновлення Моніки
джерело