Коли функція біноміального розподілу вище / нижче її граничної функції розподілу Пуассона?

Нехай позначає функцію розподілу біномів (DF) з параметрами і оціненими за : \ початок {рівняння} B (n, p, r) = \ sum_ {i = 0} ^ r \ binom {n} {i} p ^ i (1-p) ^ {ni}, \ end {рівняння } і нехай F (\ nu, r) позначає DF Пуассона з параметром a \ in \ mathbb R ^ +, обчисленим при r \ in \ {0,1,2, \ ldots \} : \ begin {рівняння} F (a , r) = e ^ {- a} \ sum_ {i = 0} ^ r \ frac {a ^ i} {i!}. \ end {рівняння}$B(n,p,r)$$n \in \mathbb N$$p \in (0,1)$$r \in \{0,1,\ldots,n\}$F(ν,r)a∈R+r∈{0,1,2,…}F(a,r)=e-ar ∑ i=0a

$$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$$ $F(\nu,r)$$a \in \mathbb R^+$$r \in \{0,1,2,\ldots\}$ $$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$$

Розглянемо $p \rightarrow 0$ , і нехай $n$ визначається як $\lceil a/p-d \rceil$ , де $d$ - константа порядку $1$ . Оскільки $np \rightarrow a$ , функція $B(n,p,r)$ сходиться до $F(a,r)$ для всіх $r$ , як добре відомо.

З вищенаведеним визначенням для $n$ мені цікаво визначити значення $a$ для яких

$$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$$ і аналогічно тим, для яких $$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$$ Я був в змозі довести , що перша нерівність має місце для істотно менше , ніж г ; більш конкретно, для нижче певного пов'язаного г (г) , з г (г) <г . Аналогічним чином , друга нерівність має місце для в достатній мірі більше , ніж г , тобто для а$a$$r$$a$$g(r)$$g(r)<r$$a$$r$$a$більший, ніж певний зв'язаний $h(r)$ , при $h(r)>r$ . (Вирази Меж $g(r)$ і $h(r)$ НЕ мають ніякого відношення тут. Я буду надавати детальну інформацію для всіх зацікавлених осіб .) Однак чисельні результати свідчать про те, що ці нерівності менш жорстких кордонів, тобто, для ближче до r, ніж я можу довести.$a$$r$

Отже, я хотів би знати, чи існує якась теорема чи результат, який встановлює, за яких умов дотримується кожна нерівність (для всіх $p$ ); тобто, коли біноміальний DF гарантується вище / нижче його граничного Пуассона DF. Якщо такої теореми не існує, будь-яка ідея чи покажчик у правильному напрямку були б вдячні.

Зауважте, що подібне питання, сформульоване як неповне бета-і гамма-функцій, було розміщене на сайті math.stackexchange.com, але не отримало відповіді.

Що стосується наступного:

• середнє значення двочленного розряду -$np$

• дисперсія$np(1-p)$

• середнє значення пуассона - , яке ми можемо уявити якn × $\lambda$$n\times p$

• дисперсія Пуассона така ж, як середня

Тепер, якщо Пуассон є межею двочлена з параметрами і , таким, що збільшується до нескінченності, а зменшується до нуля, тоді як їх добуток залишається постійним, то припускаючи, що і не конвергуються у відповідні межі, вираз завжди більший, ніж , тому дисперсія двочлена менша, ніж у Пуассона. Це означало б, що Біноміал знаходиться внизу в хвостах і вище в інших місцях.p n p n p n p n p ( 1 - p $n$$p$$n$$p$$n$$p$$np$$np(1-p)$