Чи має ім'я розподілу ?

Днями я перебіг цю щільність. Хтось назвав це ім'я?

$f(x) = \log(1 + x^{-2}) / 2\pi$

Щільність є нескінченною на початку, і вона також має жирові хвости. Я бачив, що він використовувався як попередній розподіл у контексті, коли очікувалося, що багато спостережень будуть невеликими, хоча великі значення також очікувалися.

distributions probability

— Джон Д. Кук
джерело

з цікавості ви отримали посилання на джерело, де ви бачили це спочатку?

— JMS

JMS: "Оцінювач підкови для розріджених сигналів" Карвальо, Полсона та Скотта. Я розглядав це як передрук, але він, можливо, вже був опублікований у Biometrika. Вони точно не використовують це раніше, але щільність вище є наближенням до особливого випадку їх попереднього.

— Джон Д. Кук

Він опублікований: dx.doi.org/10.1093/biomet/asq017 .

— фабі

Який окремий ви наближаєте? Я прочитав це, але не можу насправді пов’язати своє вираження з виразами, наведеними в статті ...?

— фабі

@fabians: Випадок, який я мав на увазі, був сигмою ^ 2 = tau ^ 2 = 1 в теоремі 1. У ній сказано, що щільність підкови обмежена вгорі та внизу кратними зрубами (1 + c / x ^ 2). Тож, можливо, розподіл, про який я згадував вище, швидше є спрощенням щільності підкови, ніж наближенням.

— Джон Д. Кук

Відповіді:

Дійсно, навіть першого моменту не існує. CDF цього розподілу задається

F (x) = 1 / 2 + (\arctan (x) - x \log (\sin (\arctan (x)))) / π

$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$

для і за симетрією при . Ні це, ні будь-яке з очевидних перетворень мені не виглядають звично. (Той факт, що ми можемо отримати закриту форму для CDF з точки зору елементарних функцій, вже сильно обмежує можливості, але дещо незрозумілий і складний характер цієї закритої форми швидко виключає стандартні розподіли або перетворення потужності / log / експонентні / тригени арктангент - це, звичайно, CDF Коші (Студент $x \ge 0$ $F(x) = 1 - F(|x|)$ $x \lt 0$ $t_1$ ) розповсюдження, демонструючи цей CDF як (по суті) збурену версію розподілу Коші, показану у вигляді червоних тире.)

введіть тут опис зображення

— дзижчати
джерело

- 2 \log (\sin (a r c t a n (x))) = \log (1 + x^{- 2})

$-2\log(\sin(\mathrm{arctan}(x))) = \log(1+x^{-2})$

@whuber, хоч я думаю, що я бачу, звідки ви беретесь щодо вашої заяви про cdfs із закритими формами (натяк: Louiville), я б закликав бути обережним із цим зауваженням. Сам розподіл Коші є "контрприкладом" в цьому відношенні.

— кардинал

@cardinal Я не розумію сенсу вашого зауваження щодо розподілу Коші. Я використовую лише форму CDF як евристику для звуження пошукових запитів і як ціль пошуку. CDF трохи зручніше, ніж PDF, тому що легше бачити, як він зміниться при перетворенні змінної. І так, стосунки, які ви зазначили, зрозумілі, але я вирішив написати CDF у цій формі через наявність арктангенту в іншому терміні (що говорить про заміну x = tan (u)).

— whuber

@whuber, ну, можливо, мені було б краще просити роз'яснення, а не припускати. Що ви говорили про ваш коментар, що закрита форма формату PDF суттєво обмежує можливості?

— кардинал

G

$G$

y

$y$

y (X)

$y(X)$

G

$G$

X

$X$

f

$f$

G

$G$

. Знаєте про будь-яке?

u - \tan (u) \log (\sin (u))

$u - \tan(u)\log(\sin(u))$

u = u (x)

$u = u(x)$

— whuber

Можливо, ні.

Я не міг знайти його в цьому досить широкому списку дистрибуцій:

Універсальні відносини розподілу Leemis та McQuestion 2008. Американський статистик 62 (1) 45:53

— Абе
джерело