Пояснення фільтрів Калмана в моделях простору держав

Які кроки використовуються у використанні фільтрів Калмана у моделях простору держав?

Я бачив пару різних рецептур, але в деталях не впевнений. Наприклад, Cowpertwait починає з цього набору рівнянь:

θt=Gtθt-1+w

$$y_{t} = F^{'}_{t}\theta_{t}+v_{t}$$ $$\theta_{t} = G_{t}\theta_{t-1}+w_{t}$$

де і w_ {t} \ sim N (0, W_ { t}) , \ theta_ {t} - наші невідомі оцінки, а y_ {t} - спостережувані значення.w t ∼ N ( 0 , W t ) θ t y $\theta_{0} \sim N(m_{0}, C_{0}), v_{t} \sim N(0,V_{t})$$w_{t} \sim N(0, W_{t})$$\theta_{t}$$y_{t}$

Cowpertwait визначає залучені розподіли (попередній, вірогідний і задній розподіл відповідно):

y t | θ t ∼ N (

$$\theta_{t}|D_{t-1} \sim N(a_{t}, R_{t})$$ θt| Dt∼N(mt,Ct $$y_{t}|\theta_{t} \sim N(F^{'}_{t}\theta_{t}, V_{t})$$ $$\theta_{t}|D_{t} \sim N(m_{t}, C_{t})$$

з

$$\begin{eqnarray} a_{t}&= G_{t}m_{t-1}, \qquad R_{t} &= G_{t}C_{t-1}G^{'}_{t} + W_{t} \\ e_{t}&=y_{t}-f_{t}, \qquad m_{t}&=a_{t}+A_{t}e_{t} \\ f_{t}&=F^{'}_{t}a_{t}, \qquad Q_{t}&=F^{'}_{t}R_{t}F_{t}+V_{t} \\ A_{t}&=R_{t}F_{t}Q^{-1}_{t}, \qquad C_{t}&=R_{t}-A_{t}Q_{t}A^{'}_{t} \end{eqnarray}$$

До речі, означає розподіл урахуванням спостережуваних значень до . Більш просте позначення - але я буду дотримуватися позначення Cowpertwait. θ t y t - 1 $\theta_{t}|D_{t-1}$$\theta_{t}$$y$$t-1$$\theta_{t|t-1}$

Автор також описує прогноз для з точки зору очікувань:$y_{t+1}|D_{t}$

$$E[y_{t+1}|D_{t}] = E[F^{'}_{t+1}\theta_{t+1} + v_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}E[\theta_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}a_{t+1} = f_{t+1}$$

Наскільки я розумію, це ці кроки, однак, будь ласка, повідомте мене, чи є помилка чи неточність:

1. Починаємо з , , тобто вгадуємо значення для наших оцінок . С $m_{0}$$C_{0}$$\theta_{0}$
2. Ми прогнозуємо значення для . Це має бути дорівнює що є . відомий з .$y_{1}|D_{0}$$f_{1}$a1a1=$F^{'}_{1}a_{1}$$a_{1}$$a_{1} = G_{1}m_{0}$
3. Як тільки ми маємо прогноз для , обчислюємо помилку . e 1 = y $y_{1}|D_{0}$$e_{1} = y_{1} - f_{1}$
4. Помилка використовується для обчислення заднього розподілу якого потрібні і . задається у вигляді зваженої суми попереднього середнього значення та помилки: . θ 1 | D 1 m 1 C 1 m 1 a 1 + A 1 e $e_{1}$$\theta_{1}|D_{1}$$m_{1}$$C_{1}$$m1$$a_{1} + A_{1}e_{1}$
5. У наступній ітерації ми почнемо з прогнозування як на кроці 1. У цьому випадку . Оскільки і - очікування яке ми вже обчислили на попередньому кроці, то можна приступити до обчислення помилки і середнє значення заднього розподілу як і раніше. f 2 = $y_{2}|D_{1}$a2=G2m1m1θ1| D1e2θ2| D$f_{2} = F^{'}_{2}a_{2}$$a_{2} = G_{2}m_{1}$$m1$$\theta_{1}|D_{1}$$e_{2}$$\theta_{2}|D_{2}$

Я думаю, що обчислення заднього розподілу - це те, що деякі називають кроком оновлення, а використання очікування - це крок прогнозування. у т + 1 | Д $\theta_{t}|D_{t}$$y_{t+1}|D_{t}$

Для стислості я опустив кроки для обчислення матриць коваріації.

Я щось пропустив? Чи знаєте ви кращий спосіб пояснити це? Я думаю, це все ще дещо безладно, тому, можливо, є більш чіткий підхід.

Я думаю, що те, що ти кажеш, є правильним, і я не вважаю це безладним. Способом фразування було б сказати, що фільтр Калмана - це алгоритм виправлення помилок, який модифікує прогнози з урахуванням розбіжностей з поточними спостереженнями. Ця корекція проводиться на вашому кроці 4) за допомогою матриці посилення .$A_t$