Як підходить крива, як я обчислюю 95% довірчий інтервал для встановлених параметрів?

Я підганяю криві до своїх даних, щоб отримати один параметр. Однак я не впевнений, що таке визначеність цього параметра та як би я обчислив / виразив його довірчий інтервал %. $95$

Скажімо, для набору даних, що містить дані, які експоненціально розпадаються, я підганяю криву до кожного набору даних. Тоді інформація, яку я хочу витягти, - це показник . Я знаю, що значення і значення мене не цікавлять (це змінна, яка походить від сукупності, а не процес, який я намагаюся моделювати). $b$ $t$ $a$

Я використовую нелінійну регресію, щоб відповідати цим параметрам. Однак я не знаю, як обчислити % інтервал довіри для будь-якого методу, тому більш широкі відповіді також вітаються. $95$

f = а \cdot е^{- б т}

$f= a\cdot e^{-bt}$ $Приклад даних та придатності$

Як тільки я отримаю своє значення для , як я обчислюю його довірчий інтервал %? Спасибі заздалегідь! $b$ $95$

confidence-interval nonlinear-regression fitting

— Лев
джерело

Як ви підходите до даних? Чи ваша функція трансформована так, щоб відповідати OLS?

— johnny

Я бачу з ваших коментарів щодо відповідей, що ви насправді робите нелінійні найменші квадрати. Ви б швидше отримали хороші відповіді, якби почали з цієї інформації. Я принаймні додав відповідний тег.

— Glen_b -Встановити Моніку

@Glen_b Ну, будьте більш повними в майбутньому та додайте їх до питання. Я думав про це, однак. У деяких наборах даних я використовую абсолютну відстань L1, а в інших випадках все ще використовую лінійну регресію. Тож я сподівався отримати широку відповідь.

— Лев

Якщо ви хочете отримати відповіді на найменші квадрати, регресію L1 та нелінійні найменші квадрати, найкраще бути про це чітко.

— Glen_b -Встановіть Моніку

Відповіді:

Проблема з лінеаризацією та використанням лінійної регресії полягає в тому, що припущення про гауссова розподіл залишків, ймовірно, не відповідає дійсності для перетворених даних.

Зазвичай краще використовувати нелінійну регресію. Більшість програм нелінійної регресії повідомляють про стандартний інтервал помилок та довіру найкращих параметрів. Якщо вашого немає, ці рівняння можуть допомогти.

Кожна стандартна помилка обчислюється за допомогою цього рівняння:

SE(Pi) = sqrt[ (SS/DF) * Cov(i,i) ]

Pi: i-й регульований (непостійний) параметр
SS: сума залишків у квадраті
DF: ступінь свободи (кількість точок даних мінус кількість параметрів, придатних за регресією)
Cov (i, i): i-й діагональний елемент матриці коваріації
sqrt (): квадратний корінь

Ось рівняння для обчислення довірчого інтервалу для кожного параметра з найкращого значення, його стандартної помилки та кількості ступенів свободи.

From [BestFit(Pi)- t(95%,DF)*SE(Pi)]  TO  [BestFit(Pi)+
 t(95%,DF)*SE(Pi)]

BestFit (Pi) - найкраще значення придатності для i-го параметра
t - значення від розподілу t для 95% достовірності для вказаної кількості DF.
DF - це ступеня свободи.

Приклад з Excel для 95% впевненості (так, альфа = 0,05) і 23 ступеня свободи: = TINV (0,05,23) DF дорівнює ступеню свободи (кількість точок даних мінус кількість параметрів, що відповідають регресії)

— Харві Мотульський
джерело

Це саме те, що мені було потрібно, дякую! Я використовував lsqcurvefit в Matlab , він не виводить довірчий інтервал або стандартну помилку. Він дає множники Лагранжа (?), Залишки та 2-норму залишків. Тепер з цим і вашою відповіддю я можу порахувати, що мені потрібно!

— Лев

Якщо ви вважаєте, що для ваших даних підходящою моделлю є:

$f = ae^{-bt}$

Тоді ви можете взяти журнал перетворення ваших даних відповідей таким чином, що відповідна модель:

$f' = a' -bt$

$f' = ln(f)$ $a' = ln(a)$

# Rough simulated data set.
set.seed(1)
a <- 50; b <- 0.2; n <- 25
x <- 1:n
y <- a*(exp(-b * x))
y <- y + rnorm(n, sd=0.25)
y <- ifelse(y>0, y, 0.1)
plot(x,y)

# Linearise:
y2 <- log(y)
plot(x,y2)

# Fit model to transformed data
model <- lm(y2 ~ x)
summary(model)
confint(model)

# Or:
param <- summary(model)$coefficients[, 1]; se <- summary(model)$coefficients[, 2]
param + qt(0.975, 23) * se
param - qt(0.975, 23) * se

$~N(0,\sigma^2)$

— t-студент
джерело

Ах, дякую! Дуже приємна і повна відповідь! Це я можу використовувати, якщо роблю лінеаризовану підгонку, що також іноді роблю. Я сподіваюся, що ви не заперечуєте, що я приймаю відповідь Harveys, оскільки в цьому випадку моє запитання було не про лінеаризовану форму. Ще корисна відповідь, хоча!

— Лев