Підписка підписки в очікуванні

Яке точне значення підписного позначення в умовних очікуваннях в рамках теорії вимірювань? Ці підписки не відображаються у визначенні умовного очікування, але ми можемо бачити, наприклад, на цій сторінці вікіпедії . (Зауважте, що це було не завжди так, та сама сторінка кілька місяців тому). $\mathbb{E}_X[f(X)]$

Яким має бути, наприклад, значення з і ? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— Еміль
джерело

Без сумніву, хтось зазвучить формальними визначеннями, неофіційно, всі очікування - це очікування щодо розподілу (/ очікування щодо) якоїсь (можливо багатоваріантної) випадкової величини, будь то явно вказана чи ліворуч неявна. У багатьох випадках це очевидно (

має на увазі

а не

). В інший час треба розрізняти; розглянемо закон повної дисперсії для прикладу:

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b

@Glen_b Чи справді потрібно вказати в законі сумарної дисперсії? Як

, для деякого

не зрозуміло, що

закінчується

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— Томас Ейл

@ThomasAhle Ти абсолютно прав - "потрібне" було занадто сильним словом для цього прикладу. Хоча чітко кажучи, це повинно бути зрозуміло, це часто викликає плутанину для читачів, які не звикли працювати з ним, тому звичайно, а не потрібно, чітко говорити про це. Є деякі вирази, що стосуються очікувань, в яких ви не можете бути впевнені, не вказуючи, але це насправді не одне з них

— Glen_b

$E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

$E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

Якщо присутній підпис, у деяких випадках він говорить нам, про яку змінну ми повинні мати умову . Тому

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

... Але в інших випадках це говорить нам, яку щільність використовувати для "усереднення"

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

Я хотів би сказати досить заплутаним, але хто сказав, що наукова нотація абсолютно не має двозначності чи багаторазового використання? Ви повинні подивитися, як кожен автор визначає використання таких символів.

— Алекос Пападопулос
джерело

У мене два питання. 1) Не впевнений, чи правильно я це розумію, чи можу я інтерпретувати очікування як одне з перших двох рівнянь, якщо виправлено X або Y? 2) Чи можете ви навести приклад для EQ 4 та EQ 5? Мені важко їх інтерпретувати, і я думаю, що конкретні приклади допоможуть. Дякую!

— стельовий кіт

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

@ceiling cat В обох випадках у двох моїх попередніх коментарях "механіка" математичних обчислень буде однаковою. Кінцеві результати, хоча мають різні інтерпретації.

— Алекос Пападопулос

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— Alecos Papadopoulos