щодо умовної незалежності та її графічного зображення

Під час вивчення відбору коваріації я одного разу прочитав наступний приклад. Щодо наступної моделі:

Його матриця коваріації та матриця зворотної коваріації наведені наступним чином,

Я не розумію, чому незалежність і визначається тут зворотною коваріацією?$x$$y$

Яка математична логіка лежить в основі цього взаємозв'язку?

Також лівий графік на наступному малюнку стверджує, що фіксує залежність незалежності між і ; чому?$x$$y$

Матриця зворотної коваріації може бути використана для опрацювання умовних дисперсій та коваріацій для багатоваріантних гауссових розподілів. Попереднє запитання дає деякі посилання

Наприклад, щоб знайти умовну коваріацію і задану значенням , ви б взяли правий нижній кут матриці зворотної коваріації$Y$$Z$$X=x$

$$\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{rr} \tfrac32 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & \tfrac12 \end{array} \right)$$

що дійсно дає коваріаційну матрицю і обумовлену значенням для .$Y$$Z$$X=x$

Точно так само, щоб знайти умовну коваріаційну матрицю і задану для , ви б взяли верхній лівий кут зворотної матриці коваріації$X$$Y$$Z=z$

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$

кажучи вам, що умовна коваріація між і задана дорівнює (і що кожне їх умовне відхилення дорівнює ). $X$$Y$$Z=z$$0$$1$

Для висновку, що ця нульова умовна коваріація передбачає умовну незалежність, ви також повинні використовувати той факт, що це багатоваріантний гаусс (як правило, нульова коваріація не обов'язково передбачає незалежність). Ви знаєте це з будівництва.

Можливо, ви також знаєте про умовну незалежність від побудови, оскільки вам кажуть, що і є iid, тому обумовлені конкретним значенням для , і також є iid . Якщо ви знаєте , немає ніякої додаткової інформації від , яка дозволяє вам сказати що - або про можливі значеннях .$\epsilon_1$$\epsilon_2$$Z=z$$X=z+\epsilon_1$$Y=z+\epsilon_2$$Z=z$$X$$Y$

Це доповнення до правильної та прийнятої відповіді. Зокрема, оригінальне запитання містить додаткове запитання щодо твердження, яке робить книга.

Також лівий графік на наступному малюнку стверджує, що фіксує залежність незалежності між і , чому? $X$$Y$

Це те, на що йдеться у цій відповіді, і це єдине, на що йдеться у цій відповіді.

Щоб переконатися, що ми знаходимося на одній сторінці, у подальшому я використовую це визначення (непрямого) графіка умовної незалежності, який відповідає (принаймні приблизно) випадковим полям Маркова:

Визначення: Умовний графік , незалежність являє собою неорієнтований граф , де і є НЕ в наборі краю , якщо і тільки якщо . (Де позначає вектор усіх випадкових величин, за винятком та .)$X$$G=(K,E)$$K=\{ 1, 2, \dots, k \}$$(i,j)$$X_i \perp \! \! \! \perp X_j | X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_i$$X_j$

З с. 60 Віттакера, графічні моделі в прикладній математичній багатовимірній статистиці (1990).

Тут, використовуючи аргумент, наведений Генрі в правильній, прийнятій відповіді, ми можемо встановити, що і умовно незалежні, задані , у позначенні .$X$$Y$$Z$$X \perp \! \! \perp Y \ | Z$

Оскільки єдиними трьома випадковими змінними є і , це означає, що і умовно незалежні, коли даються всі інші решта випадкових змінних (у даному випадку просто ).$X, Y$$Z$$X$$Y$$Z$

Використовуючи визначення умовної незалежності графа , наведений вище, це означає , що все ребра в графі повинні бути включені , за винятком межі між і . Дійсно, саме це зображено на правильному графіку цієї картини.$X$$Y$

Що стосується лівого графіка, то незрозуміло, не маючи більше контексту, але я думаю, що ідея полягає лише в тому, щоб показати, як виглядатиме графік умовної незалежності, якби у цих записах матриці зворотної коваріації у нас не було нулів.

Зокрема, використовуючи наведене вище визначення, ми бачимо, що ми можемо почати з повного графа на вузлах , який є лівим графіком на цьому малюнку, а потім отримаємо графік умовної незалежності з цього першого графа, видаливши всі ребра, що відповідають умовно незалежним випадковим змінним. На малюнку явно порівнюються два графіки ("проти"), що, на мій погляд, дозволяє порівняти повний графік, з якого можна почати, і графік умовної незалежності, з якого закінчується, якщо / коли вони застосовують визначення графіка умовної незалежності, як дано вище.$X, Y, Z$