Чи є якийсь "стандарт" для позначення статистичної моделі?

Наприклад, у посібнику про BUGS або в майбутній книзі Лі та Вагенмакерс ( pdf ) та в багатьох інших місцях використовується тип позначень, що мені здається дуже гнучким, оскільки він може бути використаний для короткого опису більшості статистичних моделей. Прикладом цього позначення є наступне:

$$y_i \sim \text{Binomial}(p_i,n_i) \\ \log(\frac{p_i}{1 - p_i}) = b_i \\ b_i \sim \text{Normal}(\mu_p,\sigma_p)$$

яка описувала б ієрархічну логістичну модель без предикторів, але з $i = 1\dots n$ груп. Цей спосіб опису моделей, здається, працює однаково добре для опису частотистських та баєсівських моделей, наприклад, щоб зробити цей опис моделі повністю баєсівським, вам просто доведеться додати пріори на $\mu_p$ та $\sigma_p$ .

Чи детально описаний цей тип моделювання / формалізму в якійсь статті чи книзі?

Якщо ви хочете використовувати цю позначення для написання моделей, існує багато різних способів вчинити, і було б дуже корисно з вичерпним посібником як слідкувати, так і посилатися на інших. Я знайшов деякі відмінності в тому, як люди використовують цей тип позначень:

• Як ви називаєте дистрибуції? Наприклад, я бачив $\mathcal{N},\text{N},\text{Norm},\text{Normal}$ тощо.
• Як ви маєте справу з індексами? Наприклад, я бачив $y_{ij}$ , $y_{i[j]}$ , $y_{j|i}$ тощо.
• Які символи параметрів зазвичай використовуються для параметрів. Наприклад, звичайно використовувати $\mu$ як засіб для нормального розподілу, а як щодо інших розподілів? (Для цього я зазвичай перевіряю розповсюдження Вікіпедії )

Подальше запитання: Чи має це позначення назву? (Через відсутність кращого імені я назвав це конвенцією розподілу ймовірностей, орієнтованою на ймовірність, у своїй публікації в блозі, яку я написав ...)

Деякі рекомендовані стандарти для статистичного позначення представлені у Гальперіна, Хартлі та Хоеля (1965) та Сандерса та П'ю (1972) . Більшість сучасних позначень походить від конвенцій, які були встановлені біометричними статистиками наприкінці 19 - початку 20 століття (більшість з них були зроблені Пірсоном та Фішером та їхніми соратниками). Економіст Джон Олдріх тут підтримує корисний перелік раннього вживання нотацій , а в Олдріху (2003) опубліковано історичний опис англійської біометричної школи . (Якщо у вас є додаткові запитання щодо цієї теми, Олдріх - це, мабуть, найбільший в світі експерт із історії нотації статистики.)

Окрім цієї чіткої роботи, існує чимало книг, які дають ознайомлення з полем, і вони обережно визначають позначення, що відповідають загальним конвенціям, визначаючи позначення під час їх подальшої роботи. У цій галузі існує багато відомих конвенцій, які послідовно діють з літератури, і статистики добре знайомі з ними через практику, навіть не ознайомившись з рекомендаціями цих дослідників.

Неоднозначність позначень, орієнтованих на розподіл: Використання позначень "орієнтоване на розподіл" - це стандартна конвенція, яка використовується у всій статистичній літературі. Однак одна цікава річ, яку слід зазначити щодо цієї нотації, - це те, що вона насправді означає, що це неприємне хитання. Стандартна умова полягає у тому, щоб прочитати об'єкт з правої частини цих висловлювань як якийсь опис міри ймовірності (наприклад, функції розподілу, функції щільності тощо), а потім прочитати$\sim$відношення зі значенням "... має розподіл ..." або "... має міру ймовірності ..." і т. д. За цією інтерпретацією відношення порівнює дві різні сукупності речей; об’єкт з лівої сторони є випадковою змінною, а об'єкт з правого боку - описом міри ймовірності.

Однак так само справедливо трактувати праву частину як посилання на випадкову змінну (на відміну від розподілу) і читати відношення як значення "... має таке ж розподіл, як ..." . У цій інтерпретації відношення - це відношення еквівалентності, що порівнює випадкові величини; об'єкти ліворуч та праворуч є випадковими змінними, а відношення є рефлексивним, симетричним та перехідним.$\sim$

Це дає дві можливі (і однаково справедливі) інтерпретації твердження типу:

$$X \sim \text{N}(\mu, \sigma^2).$$

• Інтерпретація розподілу: " має розподіл ймовірностей ". Ця інтерпретація вважає, що останній об'єкт є деяким описом нормальної міри ймовірності (наприклад, його щільність, функція розподілу тощо).$X$$\text{N}(\mu, \sigma^2)$

• Випадкова інтерпретація змінної: " має такий самий розподіл ймовірностей, що і ". Ця інтерпретація вважає, що останній об'єкт є звичайною випадковою змінною.$X$$\text{N}(\mu, \sigma^2)$

Кожна інтерпретація має свої переваги та недоліки. Перевага інтерпретації випадкових змінних полягає в тому, що вона використовує стандартний символ для позначення відношення еквівалентності , але його недолік полягає в тому, що він вимагає посилання на випадкові змінні з аналогічним позначенням їх функцій розподілу. Перевага інтерпретації розподілу полягає в тому, що вона використовує подібні позначення для розподілів у цілому та їх функціональних форм із заданим значенням аргументу; недоліком є ​​те, що він використовує символ таким чином, що не є відношенням еквівалентності.$\sim$$\sim$

---

Aldrich J. (2003) Мова англійської біометричної школи Міжнародний статистичний огляд 71 (1) , с. 109-131.

Halperin, M., Hartley, HO and Hoel, PG (1965) Рекомендовані стандарти для статистичних символів та позначень . Американський статистик 19 (3) , стор 12-14.

Sanders, JR and Pugh, RC (1972) Рекомендація щодо стандартного набору статистичних символів та позначень . Дослідник освіти 1 (11) , стор 15-16.