Ймовірність того, що неперервна випадкова величина передбачає фіксовану точку

11

Я перебуваю у вступному класі статистики, в якому функція щільності ймовірностей для безперервних випадкових величин була визначена як . Я розумію, що інтеграл але я не можу виправити це моєю інтуїцією безперервної випадкової величини. Скажіть, X - випадкова величина, що дорівнює кількості хвилин від часу t, що прибуває поїзд. Як обчислити ймовірність того, що поїзд прибуде рівно через 5 хвилин? Як ця ймовірність може дорівнювати нулю? Хіба це не можливо? Що робити , якщо поїзд робить прибути рівно 5 хвилин з цього часу, як це могло статися , якщо вона була ймовірність 0? $P\left\{X\in B\right\}=\int_B f\left(x\right)dx$ $\int\limits_a^af(x)dx=0$

Дякую.

— геофлітл
джерело

2

Поставити деякі з цих питань на голові корисно. Наприклад , якщо ваша інтуїція говорить, що кожен можливий час має мати певну суто позитивну ймовірність, то - оскільки існує незліченна сукупність можливих разів у будь-який інтервал - ваша інтуїція передбачає, що загальна ймовірність нескінченна. Очевидно, що інтуїція неправильна. Одне, що слід відмовитися, - це думка, що ймовірність нуля передбачає неможливість: це неправда. Так само ймовірність одного не означає певності.

— whuber

@whuber Це я не можу виправити. Якщо ймовірність того, що відбудеться подія дорівнює 0, то цього ніколи не повинно відбуватися. Наприклад, якщо у мене є стандартна шість-шахта штамповка, ймовірність перекинути будь-яке число дорівнює 0, і тому буде ніколи не буває. Крім того, як подія з імовірністю 1 не може бути впевненістю в наступному експерименті? Чи можете ви навести приклад?

Z ∖ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

$\mathcal{Z}\setminus\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

— geofflittle

1

Припустимо, ви бачите коло, в якому зображено акорд і він здається діаметром, що спонукає вас задуматися, "який шанс, щоб випадково вибраний акорд не був діаметром?" Коли акорд виходить шляхом вибору пари точок рівномірно та незалежно вздовж окружності, відповідь - , але ця подія не відбулася. Це дає (досить сильний!) Доказ того, що акорд не був результатом випадкового процесу, який ви позирували. Одне заняття, яке дають такі експерименти з думкою, полягає в тому, що інтуїція, заснована на кінцевих просторах ймовірності, не завжди узагальнює.

1

$1$

— качан

8

Ви можете потрапити в пастку про те, що "п'ять хвилин відтепер" триває деякий кінцевий проміжок часу (який би мав ненульову ймовірність).

"П'ять хвилин відтепер" у безперервному змінній сенсі справді миттєвий.

Уявіть, що прибуття наступного поїзда розподілено рівномірно між 8:00 та 8:15. Далі уявимо, що ми визначаємо прибуття поїзда як такий, що відбувається в той момент, коли передня частина поїзда проходить певну точку на станції (можливо, середина платформи, якщо немає кращого орієнтиру). Розглянемо таку послідовність ймовірностей:

а) ймовірність того, що поїзд прибуває між 8:05 та 8:10

б) ймовірність приїзду поїзда між 8:05 та 8:06

в) ймовірність приїзду поїзда між 8:05:00 та 8:05:01

г) ймовірність того, що поїзд прибуває між 8:05:00 та 8: 05: 00.01 (тобто в межах однієї сотої секунди

д) ймовірність того, що поїзд прибуває між 8:05 та однією мільярдною частиною секунди пізніше

f) ймовірність того, що поїзд прибуває між 8:05 та однією чотириденною частиною секунди пізніше

... і так далі

Ймовірність того, що він надійде точно о 8:05, є граничним значенням такої послідовності ймовірностей. Ймовірність менша, ніж у кожного . $\epsilon>0$

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

Я розумію це, але, припускаючи, що поїзд прибуває, він прибуває в якийсь момент часу. Чому ця межа все ще не може збігатися з певною вірогідністю?

— geofflittle

Якщо ви це розумієте, як ви говорите, ви можете обчислити ймовірність вказаним способом. Дозвольте мені полегшити: Уявіть для зручності підрахунку, що точний час, коли поїзд "прибуває" (однак ми визначаємо його, поки він фактично безперервний), рівномірно розподілений час на проміжку (0,1) (у будь-який час є зручною одиницею часу). Яка ймовірність того, що поїзд прибуде раніше часу

, за деякий

всередині інтервалу? Яка ймовірність того, що він надійде через час

? Яка ймовірність того, що він потрапить між

і

? ... (

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x + d x

$x+dx$

— ctd

(СТД) ... Для того, щоб сказати , що «приходить під час

» для безперервної змінної, означає «той , що є межею цієї останньої ймовірності як

. Отже, що ж це межа? Робота це! Те є Ця можливість тісно пов'язана з тим, що робить безперервний pdf безперервним

x

$x$

d x \to 0 ?

$dx\to 0?$

— Glen_b -Встановити Моніку

Далі зауважте, що якщо останній ліміт - це нічого, крім нуля, ваші три ймовірності (до

, після

та "at"

) не додадуть до 1.

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— Glen_b -Встановити Моніку

5

Що робити, якщо поїзд дійде рівно через 5 хвилин, як це могло статися, якщо він мав би ймовірність 0?

Імовірнісна заява - це не твердження про можливість / доцільність події. Це лише відображає нашу спробу кількісно оцінити нашу невизначеність щодо того, що відбувається. Отже, коли явище є безперервним (або моделюється як одне), то наші інструменти та сучасний стан знань не дозволяють нам робити імовірнісне твердження про нього, приймаючи конкретне значення . Ми можемо зробити лише таке твердження, пов'язане з діапазономзначень. Звичайно, звичайний трюк тут - дискретизувати підтримку, враховувати "малі" інтервали значень, а не одиничні значення. Оскільки безперервні випадкові величини приносять велику користь та гнучкість порівняно з дискретними випадковими змінними, це було виявлено досить низькою ціною, яку можна заплатити, можливо, такою ж невеликою, як інтервали, які ми змушені враховувати.

— Алекос Пападопулос
джерело

Pr (X = a) = 0

$\Pr(X=a)=0$

X

$X$

2

Привіт @whuber. Щодо відмінності між моделлю та явищем, карта землі - це не земля, але вона може допомогти вам бродити по землі. Так я думаю про моделі, коли я не ставлюсь до них як до предметів чистої інтелектуальної насолоди (якими вони теж є). Що стосується питання "нульова ймовірність", то це недосконалість - зрештою, чи не було б чудово мати всі переваги безперервності та бути в змозі зробити заяву про ймовірність щодо одного значення? Але, якщо бути недосконалим, це, звичайно, не робить щось непридатне, і, як я пишу, ця недосконалість виявилася малозначущою.

— Алекос Пападопулос

Ви неявно припускаєте, що ймовірність - це якась об’єктивна річ «там» у вашій аналогії картографування, але це не так. Ймовірність має значення лише в межах моделі. Я не бачу «недосконалостей» в аксіомах вірогідності, і справді можна зробити точні, послідовні твердження про ймовірності одиничних значень: часто вони дорівнюють нулю.

— whuber

2

@whuber Ні, я цього не думаю, і я не розумію, де ти це бачив у тому, що я писав. Я сказав, що "карта - не земля", що означає "те, що є в моделі, не існує насправді", тож як можна зробити висновок про те, що навпаки? "Недосконалість" стосується не ймовірності аксіом, а того, до яких інструментів ці аксіоми ведуть нас, і до того, наскільки ефективно ці інструменти можна використовувати для моделювання, вивчення та розуміння реального світу. І очевидно, що я вважаю, що ймовірність є ефективним інструментом.

— Алекос Пападопулос

4

Щоб дати вам інтуїцію для сказаного, спробуйте наступний (продуманий) експеримент:

Намалюйте реальну лінію навколо нуля за допомогою лінійки. Тепер візьміть різкий дротик і нехай він падає зверху випадковим чином на лінію (припустимо, ви завжди будете вдарятись по лінії, а заради аргументу має значення лише бічне позиціонування).

Хоча багато разів ви дозволяєте дротику випадково падати на лінію, ви ніколи не потрапите на нуль точки. Чому? Подумайте, що дорівнює нулю точки, подумайте, яка його ширина. І після того, як ви визнаєте, що його ширина дорівнює 0, ви все ще думаєте, що можете вдарити його?

Чи зможете ви потрапити в точку 1, або -2? Або будь-який інший пункт, який ви вибрали на лінії з цього питання?

Щоб повернутися до математики, це різниця між фізичним світом та математичним поняттям, таким як реальні числа (представлені реальною лінією на моєму прикладі). Теорія ймовірностей має дещо складніше визначення ймовірності, ніж ви побачите у своїй лекції. Для кількісної оцінки вірогідності подій та будь-якої комбінації їх результатів потрібна міра ймовірності. І міра Бореля, і міра Лебега визначаються для інтервалу [a, b] на реальній лінії як: з цього визначення ви можете бачити, що відбувається з ймовірністю, якщо зменшити інтервал до числа (встановлення a = b).

μ ([a, b]) = b - a

$\mu([a,b])=b-a$

Суть полягає в тому, що, виходячи з сучасного визначення теорії ймовірностей (починаючи з Колмогоровим), факт, що подія має 0 ймовірностей, не означає, що вона не може відбутися.

А що стосується вашого прикладу з поїздом, якщо у вас буде нескінченно точний годинник, ваш потяг ніколи не приїде точно вчасно.

— засоби до значення
джерело

Ви кажете "ти ніколи не потрапиш у нуль точки", але що ти можеш сказати про те, що я потрапив у своєму першому киданні дротика? Нехай - точка, в яку я потрапив. Перш ніж кинути мій дротик, ви б сказали "ти ніколи не потрапиш у точку ", але я просто вдарив. А тепер що?

x

$x$

x

$x$

— geofflittle

Я думаю, що вам потрібно розмежовувати питання: Яка ймовірність того, що я потрапив у якийсь момент? Якщо ми погоджуємось, що ти завжди кидаєш дротик і він завжди б'є десь уздовж лінії, ця ймовірність 1. Також я не просто кажу, що ти не вдариш 0. Я кажу, що ймовірність того, що ти потрапив у будь-яку точку, яку ви вибираєте ДО ПЕРЕД кидання дартса - 0. Насправді ви можете вибрати будь-який кінцевий набір очок, імовірність все одно буде 0.

— значить до значення

Щодо вашого питання, я розумію, але запитувати про ймовірність подій після їх виникнення несе сенс. Таке твердження, як P (X = x), стосується майбутньої реалізації випадкової величини X. Отже, ПІСЛЯ ви потрапите в якусь точку, я нічого про це не скажу. (великі ковпачки використовуються лише для того, щоб вказати на течію часу, а не на крик…)

— означає, що означає

1

Розподіл ймовірностей повинен мати область єдності. Якщо міра безперервна, то існує нескінченна кількість значень, яку вона може приймати (тобто нескінченна кількість значень уздовж осі x розподілу). Єдиний спосіб, коли загальна площа розподілу ймовірностей може бути кінцевою - це значення для кожного з нескінченного числа значень дорівнювати нулю. Один поділений на нескінченність.

У "реальному житті" не може бути заходів, які б приймали нескінченну кількість цінностей (за допомогою декількох різних філософських аргументів, які тут не мають великого значення), тому жодне значення не повинно приймати вірогідність рівно нуля. Корисний практичний аргумент заснований на кінцевій точності вимірювань у реальному світі. Якщо ви використовуєте секундомір, який займає одну десяту частину секунди, поїзд матиме одну десяту частину секунди, щоб прибути за «рівно» п’ять хвилин.

— Майкл Лев
джерело

3

Перший параграф тут містить деяку розпливчасту інтуїцію, хоча дедуктивні кроки є неправильними. Існує безліч розподілів, які допускають нескінченну кількість значень, але кожне значення має суто позитивну ймовірність. Другий абзац може отримати користь від переформулювання, яке підкреслює, що до кожного значення вимірювання пов'язаний (малий) інтервал можливих значень базової кількості, що становить інтерес.

— кардинал

Яка різниця між суто позитивною величиною (кінцевої величини, поділеною на нескінченність?) І нулем у цьому контексті?

— Майкл Лев

2

Моя думка, мабуть, погано висловлена, полягає в тому, що аргумент у першому абзаці базується на хибній передумові, що оскільки випадкова величина може приймати нескінченно багато значень, кожен окремий результат повинен мати нульову ймовірність. Це, звичайно, неправильно (Пуассон, геометричний тощо); поняття "нескінченність" тут недостатньо сильне, нам потрібна незліченність .

— кардинал

0

$A$ $A$

Я пишу це, щоб сподіватися вирішити щось інше, про що в коментарях сказала ОП:

Ви кажете "ти ніколи не потрапиш у нуль точки", але що ти можеш сказати про те, що я потрапив у своєму першому киданні дротика? Нехай 𝑥 - точка, в яку я потрапив. Перш ніж кинути мій дротик, ви б сказали «ти ніколи не потрапиш у точку 𝑥», але я тільки що його вдарив. А тепер що?

$(\Omega, A, \mu)$ $\Omega$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ $\mu$ $\mu(\Omega) = 1$ $([a,b], \text{all half open intervals on $[a,b]$}, \nu)$ $\nu$ $\nu( [c,d) ) = \frac{1}{d - c}$ $x \in [a,b]$ $\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$ $A$ $\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}_s$ $t < s$

F_{t} = {x \in [a, b] : dart hit x at time t^{'} < t} .

$\mathcal{F}_t = \{x \in [a,b]: \text{dart hit $x$ at time $t' < t$} \}.$ $\mathcal{F}_1$

Ω .

$\Omega.$

ν ([c, d]) = (d - c) / (b - a) .

$\nu([c,d])=(d-c)/(b-a).$ На більш фундаментальному рівні незрозуміло, чому потрібно закликати механізм стохастичних процесів, щоб обговорити випадкову змінну, що моделює час однієї події, і не очевидно, що це не дає ніякого розуміння.

— whuber