Які існують методи вибірки двох корельованих випадкових величин?

Назвіть деякі методи вибірки двох корельованих випадкових змінних:

• якщо їх параметри розподілу ймовірностей параметризовані (наприклад, log-normal)

• якщо вони мають непараметричні розподіли.

Дані - це два часові ряди, для яких ми можемо обчислити ненульові коефіцієнти кореляції. Ми хочемо моделювати ці дані в майбутньому, вважаючи, що історична кореляція та часовий ряд CDF є постійними.

У випадку (2) 1-D аналогом було б побудувати CDF та зразок з нього. Тому я здогадуюсь, я міг би сконструювати 2-D CDF і зробити те саме. Однак мені цікаво, чи є спосіб наблизитися за допомогою окремих 1-D CDF та якось пов'язуючи вибору.

Спасибі!

Я думаю, що ти шукаєш - це копула. У вас є два граничні розподіли (вказані або параметричними, або емпіричними cdfs), і тепер ви хочете вказати залежність між ними. Для біваріантного випадку існують всілякі варіанти, але основний рецепт той самий. Я буду використовувати копулу Гаусса для простоти інтерпретації.

$C$

1. $(Z=(Z_1, Z_2)\sim N(0, C)$

2. $U_i = \Phi(Z_i)$$i=1, 2$$\Phi$$U_1, U_2\sim U[0,1]$

3. $Y_i = F_i^{-1}(U_i)$$F_i^{-1}$$i$$Y_i$

Вуаля! Спробуйте це для деяких простих випадків, і подивіться на граничні гістограми та розсипчасті місця, це весело.

Ніякої гарантії, що це підходить для вашої конкретної програми, хоча (зокрема, вам може знадобитися замінити копулу Гаусса на копулу), але це повинно розпочати роботу. Хорошим посиланням на моделювання копули є Нельсен (1999), «Вступ до копула» , але в Інтернеті є і досить непогані знайомства.

Інший популярний метод - "триваріантне відновлення", який проби $X_1 \sim Y+Z$ і $X_2 \sim W+Z$ так що кореляція індукується випадковою величиною $Z$. Зауважте, що це також може бути узагальненим для більш ніж двох вимірів, але є складнішим, ніж у випадку 2-d. Ви можете подумати, що ви можете отримати лише позитивні кореляції, але насправді ви також можете отримати негативні кореляції, використовуючи$U$ і $(1-U)$ при генерації випадкових величин це спричинить негативну кореляцію розподілів.

Третім популярним методом є (NORTA) NORmal To Anything ; генерувати корельовані нормальні змінні, перетворювати їх у рівномірні випадкові величини шляхом оцінки відповідних cdfs, а потім використовувати ці "нові" рівномірні випадкові величини як джерело випадковості при генеруванні малюнків із нового розподілу.

Окрім підходу копули (цілого класу методів), згаданого в іншому пості, ви також можете взяти вибірку з максимального розподілу сполучень, який за духом схожий на підхід копули. Ви визначаєте граничні розподіли та вибірку з максимальної зв'язку. Це виконується двома кроками прийому-відхилення, описаними тут П'єром Якобом . Імовірно, цей метод може бути розширений на більш високі розміри, ніж 2, але може бути складнішим для досягнення. Зауважте, що максимальне з'єднання спричинить кореляцію, яка залежить від значень параметрів маргіналів. Дивіться цей пост для гарного прикладу цього у відповіді Сіань на моє запитання.

Якщо ви готові прийняти приблизні (в більшості випадків) зразки, то методи MCMC також є можливим вибіркою з багатовимірних розподілів.

Крім того, ви можете використовувати методи прийняття-відхилення, але, як правило, важко знайти домінуючу щільність для вибірки та оцінити відношення її до потрібної щільності.

Це всі додаткові методи, про які я можу придумати, але, напевно, я пропустив пару.