Яка медіана нецентрального розподілу t?

10

Яка медіана нецентрального розподілу t з параметром нецентральності ? Це може бути безперспективним питанням, оскільки, здається, CDF виражається нескінченною сумою, і я не можу знайти жодної інформації про зворотну функцію CDF. $\delta \ne 0$

— шабчеф
джерело

11

Ви можете наблизити його.

Наприклад, я зробив такі нелінійні підходи для (ступеня свободи) від 1 до 20 та (параметр нецентральності) від 0 до 5 (з кроками 1/2). Дозволяє $\nu$ $\delta$

a (ν) = 0.963158 + \frac{0.051726}{ν - 0.705428} + 0.0112409 \log (ν),

$a(\nu) = 0.963158 + \frac{0.051726}{\nu-0.705428} + 0.0112409\log(\nu),$

b (ν) = - 0.0214885 + \frac{0.406419}{0.659586 + ν} + 0.00531844 \log (ν),

$b(\nu) = -0.0214885+\frac{0.406419}{0.659586 +\nu}+0.00531844 \log(\nu),$

і

g (ν, δ) = δ + a (ν) \exp (b (ν) δ) - 1.

$g(\nu, \delta) = \delta + a(\nu) \exp(b(\nu) \delta) - 1.$

Тоді оцінює медіану в межах 0,15 для , 0,03 для , .015 для , і .007 для . $g$ $\nu=1$ $\nu=2$ $\nu=3$ $\nu = 4, 5, \ldots, 20$

Оцінка була зроблена шляхом обчислення значень і для кожного значення від 1 до 20, а потім окремо підгонки і до . Я розглянув ділянки і щоб визначити відповідну функціональну форму для цих припадків. $a$ $b$ $\nu$ $a$ $b$ $\nu$ $a$ $b$

Можна зробити краще, орієнтуючись на інтервали цих цікавих для вас параметрів. Зокрема, якщо вас не цікавлять дійсно малі значення ви можете легко покращити ці оцінки, ймовірно, в межах 0,005 послідовно. $\nu$

Ось графіки медіани проти для , найскладніший випадок та негативні залишки (справжня медіана мінус приблизне значення) проти : $\delta$ $\nu=1$ $\delta$

Не центральна t медіана, дельта від 0 до 5, nu = 1

Нецентральні t середні залишки, дельта від 0 до 5, nu = 1

Залишки справді невеликі порівняно з медіанами.

До речі, медіана близька до параметра нецентральності, окрім найменших ступенів свободи. Ось графік медіани для від 0 до 5 та (розглядається як реальний параметр) від 1 до 20. $\delta$ $\nu$

Не центральна t медіана проти нуля та дельти (у псевдо 3D)

Для багатьох цілей використання для оцінки медіани може бути досить хорошою. Ось графік помилки (відносно ), зробленої при припущенні медіани дорівнює (для від 2 до 20). $\delta$ $\delta$ $\delta$ $\nu$

(Медіана - дельта) / дельта проти дельти і ну

— дзижчати
джерело

3

+1, дивовижно. Як ви придумали функціональну форму для ?

g

$g$

— mpiktas

1

@mpiktas Поєднання перегляду формул CDF та побудови медіанів проти . Експоненція з двома параметрами насправді підходить як до квадратичного многочлена (з трьома параметрами).

ν

$\nu$

— whuber

5

Якщо вас цікавить (ступінь свободи) ν> 2, наступний асимптотичний вираз [похідний від інтерполятивного наближення до нецентрального квантилу студента-t, Д. Л. Бартлі, Енн. Окупація. Hyg., Vol. 52, 2008] є достатньо точним для багатьох цілей:

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

При ν> 2 максимальна величина зміщення вищевказаного виразу щодо нецентральної медіани студента-t становить близько 2% і швидко падає зі збільшенням ν. Контурна діаграма показує зміщення асимптотичного наближення відносно нецентральної медіани студента-t:

— Девід Бартлі
джерело