Об'єктивний оцінювач для меншої з двох випадкових величин

13

Припустимо, і $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$

Мене цікавить . Чи є неупереджений оцінювач для ? $z = \min(\mu_x, \mu_y)$ $z$

Простий оцінювач де і , наприклад, вибіркові засоби і , є упередженим (хоча й послідовним). Він прагне підкреслити . $\min(\bar{x}, \bar{y})$ $\bar{x}$ $\bar{y}$ $X$ $Y$ $z$

Я не можу придумати неупереджений оцінювач для . Чи існує такий? $z$

Дякуємо за будь-яку допомогу.

random-variable unbiased-estimator minimum

— пазам
джерело

8

Це лише декілька коментарів, а не відповідь (не вистачає точки відбору).

(1). Тут є чітка формула зміщення простого оцінювача тут: $min(\bar{x},\bar{y})$

Кларк, CE 1961, березень-квітень. Найбільша з кінцевих наборів випадкових величин. Дослідження операцій 9 (2): 145–162.

Не впевнений, як це допомагає

(2). Це просто інтуїція, але я думаю, що такого оцінювача не існує. Якщо є такий оцінювач, він також повинен бути неупередженим, коли . Таким чином, будь-яке «пониження», яке робить оцінювач менше, ніж скажімо, середньозважене середнє значення для двох вибіркових засобів, робить оцінювач упередженим для цього випадку. $\mu_x=\mu_y=\mu$

— Або Зук
джерело

1

Можливо, будь-яка корекція може мати середній нуль для цього випадку.

— кардинал

Хоча лише уточнити, я не стверджую, що я вважаю, що існує неупереджений оцінювач. Насправді, я згоден, там, швидше за все , немає .

— кардинал

1

Так, згоден - це просто інтуїція. У наступному документі наведені умови існування неупередженого оцінювача функції універсальної гауссової середньої величини - можливо, можна поширити на багатовимірне: stat.ncsu.edu/library/mimeo.archive/ISMS_1988_1929.pdf

— Або Зук

u_{x}

$u_x$

u_{y}

$u_y$

5

$\mu_x=\mu_y$

$T(X,Y)$ $E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\mu_x=\mu_y$ , що призводить до суперечності.

Хірано та Портер мають загальний доказ у майбутньому документі Econometrica (див. Їх пропозицію 1). Ось версія робочого паперу:

http://www.u.arizona.edu/~hirano/papers/hp4_2011_11_03.pdf

— user8817
джерело

Дуже хороша! Дякуємо, що стежили за цим питанням.

— whuber

1

Існує оцінка для мінімального (або максимального) набору чисел, даного зразком. Див. Лорен де Хаан, "Оцінка мінімуму функції за допомогою статистики замовлень", JASM, 76 (374), червень 1981, 467-469.

— Ян Гальковський
джерело

На жаль, я не вважаю, що цитований вами документ вирішує цю проблему. У статті йдеться про те, коли у вас є набір нестахастичних змінних A і пошук найменшого елемента в A шляхом вибірки. У контексті цієї проблеми кожен елемент A був би випадковою змінною, і в цьому лежить кікер. Ви повинні знайти неупереджений оцінювач середньої найменшої випадкової величини в А.

— pazam

0

Я був би впевнений, що об'єктивного оцінювача не існує. Але неупереджених оцінювачів не існує для більшості величин, і неупередженість не є особливо бажаною властивістю в першу чергу. Чому ви хочете його тут?

Y

$Y$

Y

$Y$