Як генерувати рівномірно розподілені точки в 3-денній одиничній кулі?

Я розмістив попереднє запитання , це пов’язано, але я думаю, що краще почати іншу тему. Цього разу мені цікаво, як генерувати рівномірно розподілені точки всередині 3-д одиничної сфери і як перевірити розподіл також візуально та статистично? Я не бачу стратегій, розміщених там, безпосередньо переноситись на цю ситуацію.

random-generation

— Цянь Лі
джерело

Методи попереднього запитання застосовуються безпосередньо після того, як ви помітите, що кількість точок, що знаходяться на відстані від початку, має бути пропорційною . Таким чином, якщо ви генеруєте незалежну рівномірну змінну в разом з точкою на поверхні сфери, масштабування по робить трюк.

r

$r$

r^{3}

$r^3$

u

$u$

[0, 1]

$[0,1]$

w

$w$

w

$w$

u^{1 / 3}

$u^{1/3}$

— whuber

@whuber: можливо я просто не зрозумів суть попередніх методик. Дозвольте спробувати те, що ви описали. Крім того, які способи перевірити рівномірність тут ще раз?

— Цянь Лі

@ Qiang Ripley's K-функція та тести на чи-квадрат. Ви також можете перевірити рівномірність радіальної проекції точок на поверхню сфери, рівномірність куба довжин точок і незалежність цих двох.

— whuber

Для мене не так очевидно, що означає "рівномірно розподілений" ... І, мабуть, спроба його визначити автоматично створить алгоритм генерації (=

@mbq, я думаю, щоб визначити термін, нам потрібно мати pdf .

f_{R, Θ, Φ} (r, θ, ϕ) = r^{2}

$f_{R, \Theta, \Phi}(r,\theta, \phi)=r^2$

— Цянь Лі

Відповіді:

Найпростіший спосіб - відбирати точки рівномірно у відповідному гіперкубі і відкидати ті, які не лежать у сфері. У 3D це не повинно траплятися часто, приблизно в 50% часу. (Об'єм гіперкуба - 1, об'єм сфери - ). $\frac{4}{3}\pi r^3 = 0.523...$

— байерж
джерело

+1. Це одна з методик, рекомендованих comp.graphics.algorithms FAQ "Уніфіковані випадкові точки на сфері".

— Девід Кері

Що робити, якщо ми хочемо зробити це для ?

n > 100

$n > 100$

— ares

Це називається "методом відхилення". Хоча добре працює в трьох вимірах, на двадцять сім вимірах, лише одна на трильйон балів лежить у 27-бальній кулі, а не в решті 27-кубових, тому метод відхилення не є загальним. Я згадую це, тому що в даний час мені потрібні зразки рівномірно в кулі розміром 2440.

— Reb.Cabin

Ви також можете це зробити в сферичних координатах, і в цьому випадку відхилення немає. Спочатку ви генеруєте радіус і два кути навмання, потім використовуєте формулу переходу для відновлення , і ( , , ). $x$ $y$ $z$ $x = r \sin \theta \cos \phi$ $y = r \sin \theta \sin \phi$ $z = r \cos \theta$

Ви генеруєте одночасно між і . Радіус і нахил неоднакові. Імовірність того, що точка знаходиться всередині кулі радіуса дорівнює тому функція щільності ймовірності дорівнює . Ви можете легко перевірити, що кубічний корінь рівномірної змінної має точно такий же розподіл, тому таким чином можна генерувати . Ймовірність того, що точка лежить у сферичному конусі, визначеному нахилом є або якщо $\phi$ $0$ $2\pi$ $r$ $\theta$ $r$ $r^3$ $r$ $3 r^2$ $r$ $\theta$ $(1-\cos\theta)/2$ $1 - (1-\cos (-\theta))/2$ $\theta > \pi/2$ . Отже щільність - це . Ви можете перевірити, що мінус аркозіна рівномірної змінної має належну щільність. $\theta$ $sin(\theta)/2$

Або, простіше кажучи, ми зможемо симулювати косинус рівномірно і . $\theta$ $-1$ $1$

У R це виглядатиме, як показано нижче.

n <- 10000 # For example n = 10,000.
phi <- runif(n, max=2*pi)
r <- runif(n)^(1/3)
cos_theta <- runif(n, min=-1, max=1)
x <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * cos(phi)
y <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * sin(phi)
z <- r * cos_theta

Під час написання та редагування цієї відповіді я зрозумів, що рішення менш тривіальне, ніж я думав.

Я думаю, що найпростіший та обчислювально найефективніший метод - це слідувати методу @ whuber для генерації на одиничній сфері, як показано на цій посаді, та масштабування їх за допомогою . $(x,y,z)$ $r$

xyz <- matrix(rnorm(3*n), ncol=3)
lambda <- runif(n)^(1/3) / sqrt(rowSums(xyz^2))
xyz <- xyz*lambda

— gui11aume
джерело

Це набагато краща відповідь через відсутність відхилення. У просторах з високими розмірами відбір відбору відхилень може бути дуже дорогим через низьку ймовірність прийняття.

— kingledion

Скажімо, останній біт коду може бути адаптований до більш високого виміру d. Для цього замініть всі екземпляри 3на d.

— gui11aume

$P$ $P = N/||N|| * U^{1/n}$ $N$ $U$ $[0,1]$ $1/n$ $n$

Et voilà!

— Жан-Люк Бушо
джерело

Рівномірно розподілений радіус не дасть рівномірної точки в кулі ...

— kjetil b halvorsen

U

$U$