Відповіді:
На мою думку, деякими варіантами дослідження на рівні випускників можуть бути: функціональний аналіз (природна основа для статистичних формулювань), стохастичні процеси, стохастичний контроль (послідовний аналіз є оптимальним зупинкою), різні аромати PDE (багато імовірнісних проблем формулюються як параболічні та нелінійні PDE). Досить багато всього цього вимагає реального аналізу на нижчому рівні. Якщо вас цікавлять теоретичні речі, то прийняття теорії вимірювань також є досить важливою умовою повного опрацювання цих тем. Комплексний аналіз матиме певну користь, але менше, ніж вищезазначений; є зв’язки з імовірністю (тобто гармонічні функції), але це цілком може бути не варто
Комутативна алгебра та алгебраїчна геометрія будуть не дуже корисними (одне з'єднання, про яке я можу придумати, - це алгебраїчна статистика, яка не вивчається широко). Ці теми також будуть дуже складними без міцного досвіду в математиці.
Отримайте реальний аналіз, але не так, як я бачу, як це роблять люди. Коли ми опитуємо математику з нижчих курсів, вони, здається, не опановують інструментами реального аналізу, прості речі, такі як взяття інтегралів, для більшості з них недосяжні. Я досі не розумію, чому. Отже, моя порада: зверніть увагу насамперед на додатки.
Отримайте також курс ODE та PDE, а також функціональний аналіз та диференціальну геометрію. Лінійна алгебра і тензори, звичайно, теж. Все з акцентом на додатки.
Що стосується комутативної алгебри та алгебраїчної геометрії, предметів, які найменше розглядаються в інших відповідях, моє враження, що доки ви не уникаєте алгебраїчної статистики, ви можете обійтися цілком без них. Уникнути алгебраїчної статистики в майбутньому може бути все складніше, оскільки вона має багато застосувань і перетину з машинним / статистичним навчанням, що є дуже помітним у сучасних дослідженнях, а також в інших сферах. Комутативна алгебра та алгебраїчна геометрія є предметами, яких ви хочете вивчити найбільш конкретно для алгебраїчної статистики, див., Наприклад, відповіді на це питання: Алгебраїчна геометрія для статистики
Навпаки, у всіх підполях статистики використовується аналіз. (Хоча це не так багато складного аналізу, хоча це може бути корисним для розуміння характерних функцій. Точка, яка, здається, ще не була піднята.) Я думаю, що теорія мір бакалаврського рівня, ймовірно, буде достатньою, оскільки я зустрів професійних статистиків (наприклад, професорів у вищих відділах), які дивляться на теорію мір, але якщо ви дійсно хочете зрозуміти теорію мір, то курс реального аналізу в реальному аналізі - це чудова допомога. Теорія бакалаврської міри, як правило, орієнтується виключно на міру Лебега на реальній лінії, яка має безліч приємних властивостей, які загальні заходи можуть не обов'язково мати, і, крім того, є нескінченною мірою. На противагу цьому, курс реального аналізу випускників рівня, як правило, більше акцентує увагу на абстрактних заходах, які полегшують розуміння ймовірнісних заходів, а також роблять більш чіткими відносини між безперервними та дискретними мірами ймовірності - іншими словами, ви зможете вперше побачити, як обидва суб'єкти збираються разом в рамках. Так само можна довести теорему продовження Колмогорова таким курсом. І розуміння абстрактних заходів дійсно є необхідним для чіткого розуміння стохастичних процесів у безперервному часі. Це навіть корисно для розуміння стохастичних процесів у дискретний час, хоча і менш важливе, ніж у безперервному випадку. ви зможете вперше побачити, як обидва предмети збираються разом в рамках. Так само можна довести теорему продовження Колмогорова таким курсом. І розуміння абстрактних заходів дійсно є необхідним для чіткого розуміння стохастичних процесів у безперервному часі. Це навіть корисно для розуміння стохастичних процесів у дискретний час, хоча і менш важливе, ніж у безперервному випадку. ви зможете вперше побачити, як обидва предмети збираються разом в рамках. Так само можна довести теорему продовження Колмогорова таким курсом. І розуміння абстрактних заходів дійсно є необхідним для чіткого розуміння стохастичних процесів у безперервному часі. Це навіть корисно для розуміння стохастичних процесів у дискретний час, хоча і менш важливе, ніж у безперервному випадку.