Чому перед варіантом вважається слабким?

Фон

Однією з найбільш часто використовуваних слабких до зміни дисперсії є зворотна гамма з параметрами (Gelman 2006) . $\alpha =0.001, \beta=0.001$

Однак цей розподіл має 90% приблизно . $[3\times10^{19},\infty]$

library(pscl)
sapply(c(0.05, 0.95), function(x) qigamma(x, 0.001, 0.001))

[1] 3.362941e+19          Inf

З цього я трактую, що дає низьку ймовірність того, що дисперсія буде дуже високою, і дуже низька ймовірність того, що дисперсія буде меншою за 1 . $IG(0.001, 0.001)$ $P(\sigma<1|\alpha=0.001, \beta=0.001)=0.006$

pigamma(1, 0.001, 0.001)
[1] 0.006312353

Питання

Я щось пропускаю чи це насправді інформаційний поперед?

оновлення, щоб уточнити, причина, що я розглядав це «інформативне», полягає в тому, що він дуже сильно стверджує, що дисперсія величезна і значно виходить за шкалу майже будь-якої вимірюваної дисперсії.

подальший досвід, чи би мета-аналіз великої кількості дисперсійних оцінок забезпечив більш розумний попередній час?

Довідково

Гельман 2006. Попередні розподіли параметрів дисперсії в ієрархічних моделях . Баєсовий аналіз 1 (3): 515–533

bayesian multilevel-analysis prior

— Девід Лебоуер
джерело

"Справжній" неінформативний пріоритет - це не розподіл. Тому немає жодної попередньої ймовірності, наприклад, Р (сигма <1).

— Стефан Лоран

Відповіді:

За допомогою зворотного розподілу гами ми отримуємо:

p (σ^{2} | α, β) \propto (σ^{2})^{- α - 1} \exp (- \frac{β}{σ^{2}})

$p(\sigma^2|\alpha,\beta) \propto (\sigma^2)^{-\alpha-1} \exp(-\frac{\beta}{\sigma^2})$

Ви легко бачите, що якщо і то зворотна гама наблизиться до Джефріса раніше. Такий розподіл називають "неінформативним", оскільки він є належним наближенням до попереднього Джефріса $\beta \rightarrow 0$ $\alpha \rightarrow 0$

p (σ^{2}) \propto \frac{1}{σ^{2}}

$p(\sigma^2) \propto \frac{1}{\sigma^2}$

Що є неінформативним для параметрів шкали, див., Наприклад , тут сторінку 18 , тому що цей пріоритет є єдиним, який залишається інваріантним при зміні шкали (зауважте, що наближення не є інваріантним). Це має невизначений інтеграл який показує, що це неправильно, якщо діапазон включає або або . Але ці випадки є лише проблемами в математиці - не в реальному світі. Ніколи насправді не спостерігайте нескінченне значення для дисперсії, і якщо спостережувана дисперсія дорівнює нулю, у вас є ідеальні дані !. Для вас можна встановити нижню межу, рівну і верхню межу, рівну , і ваш розподіл є правильним. $\log(\sigma^2)$ $\sigma^2$ $0$ $\infty$ $L>0$ $U<\infty$

Хоча може здатися дивним, що це "неінформативно", оскільки він надає перевагу невеликій дисперсії великим, але це лише в одній шкалі. Ви можете показати, що має неправильне рівномірне розподіл. Таким чином, цей пріоритет не сприяє жодній шкалі над будь-якою іншою $\log(\sigma^2)$

Хоча це не пов'язане безпосередньо з вашим запитанням, я б запропонував "кращий" неінформативний розподіл, вибравши верхню та нижню межі і у Джефрісі, а не та . Зазвичай обмеження можна встановити досить легко, трохи подумавши про те, що насправді означає в реальному світі. Якщо це була помилка в якійсь фізичній величині - не може бути меншим за розмір атома або найменший розмір, який ви можете помітити в експерименті. Далі $L$ $U$ $\alpha$ $\beta$ $\sigma^2$ $L$ $U$ $q_{(b)} \sim \mathrm{Uniform}(\log(L),\log(U))$ $\sigma^{2}_{(b)}=\exp(q_{(b)})$

— ймовірністьіслогічна
джерело

+1 - не лише для відповіді на питання, але й надання корисних порад.

— whuber

l o g (σ)

$log(\sigma)$

B e t a_{2} (1, 1)

$Beta_{2}(1,1)$

F_{1, 1}

$F_{1,1}$

B e t a_{2} (0, 0)

$Beta_{2}(0,0)$

— ймовірністьлогічний

[0, \infty]

$[0,\infty]$

σ \sim e x p (U (l o g (L), l o g (U))

$\sigma\sim exp(U(log(L),log(U))$

σ \sim U (L, U)

$\sigma\sim U(L,U)$

— David LeBauer

(0, \infty)

$(0, \infty)$

α = 1, β = 1 / 2

$\alpha=1, \beta=1/2$

Це досить близько до квартири. Його медіана - 1,9 E298, майже найбільше число може представляти плаваюча арифметика подвійної точності. Як ви зазначаєте, ймовірність, яку він призначає будь-якому інтервалу, який насправді не величезний, насправді невеликий. Важко отримати менш інформативну інформацію, ніж це!

— дзижчати
джерело

дякую за ваше пояснення. У мене виникають проблеми конвергенції, і я був здивований, що стільки змінних, з якими я працюю, має значення <1000 (тобто якщо щось становить> 1000 г, це вимірюється в кг), і відхилення приблизно в тому ж порядку величина. Отже, я усвідомлюю, що мені потрібно більше пріорів, які включають цю інформацію, навіть якщо я не маю хороших попередніх знань про її значення або про те, як вона розподілена.

— David LeBauer

Залежно від моделі, ваш задник може бути дуже близьким до неправильного використання цього попереднього

— JMS