Чи має регресія Кокса основний розподіл Пуассона?

Наша маленька команда вела дискусію і застрягла. Хтось знає, чи має регресія Кокса основний розподіл Пуассона. Ми мали дискусію про те, що, можливо, регресія Кокса з постійним ризиком у часі матиме схожість з регресією Пуассона із сильною дисперсією. Будь-які ідеї?

Так, існує зв'язок між цими двома моделями регресії. Ось ілюстрація:

Припустимо, небезпека базової лінії є постійною протягом часу: . У цьому випадку функція виживання є$h_{0}(t) = \lambda$

$S(t) = \exp\left(-\int_{0}^{t} \lambda du\right) = \exp(-\lambda t)$

а функція щільності -

$f(t) = h(t) S(t) = \lambda \exp(-\lambda t)$

Це pdf експоненціальної випадкової величини з очікуванням .$\lambda^{-1}$

Така конфігурація дає наступну параметричну модель Кокса (з очевидними позначеннями):

$h_{i}(t) = \lambda \exp(x'_{i} \beta)$

У параметричній установці параметри оцінюються за допомогою класичного методу ймовірності. Вірогідність журналу задається

$l = \sum_{i} \left\{ d_{i}\log(h_{i}(t_{i})) - t_{i} h_{i}(t_{i}) \right\}$

де - показник події.$d_{i}$

До адитивної константи це не що інше, як той самий вираз, як ймовірність журналу , що розглядається як реалізація змінної Пуассона із середнім . μ i = t i h i ( t $d_{i}$$\mu_{i} = t_{i}h_{i}(t)$

Як наслідок, можна отримати оцінки за допомогою наступної моделі Пуассона:

$\log(\mu_{i}) = \log(t_{i}) + \beta_0 + x_{i}'\beta$

де .$\beta_0 = \log(\lambda)$