Чому F-тест у лінійних моделях Гаусса найпотужніший?

$Y=\mu+\sigma G$ $\mu$ $W$ $G$ $\mathbb{R}^n$ $F$ $H_0\colon\{\mu \in U\}$ $U \subset W$

f = ϕ (2 \log \frac{sup_{μ \in W, σ > 0} L (μ, σ | y)}{sup_{μ \in U, σ > 0} L (μ, σ | y)}) .

$f=\phi\left( 2\log \frac{\sup_{\mu \in W, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)}{\sup_{\mu \in U, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)} \right).$ Як ми можемо знати, що ця статистика є найпотужнішим тестом на

H_{0}

$H_0$ (можливо, після відмови від незвичних конкретних випадків)? Це не випливає з теореми Неймана-Пірсона, оскільки ця теорема стверджує, що тест коефіцієнта ймовірності є найпотужнішим для точкових гіпотез

H_{0} : {μ = μ_{0}, σ = σ_{0}}

$H_0\colon\{\mu=\mu_0, \sigma=\sigma_0\}$ та

H_{1} : {μ = μ_{1}, σ = σ_{1}}

$H_1\colon\{\mu=\mu_1,\sigma=\sigma_1\}$ .

— Стефан Лоран
джерело

Тут можуть бути актуальними сім'ї МЛР та теорема Карліна-Рубіна .

— whuber

Ви можете переписати

H_{0} : μ \in U

$H_0: \mu\in U$ таку форму, як

H_{0} : δ = 0

$H_0:\delta=\mathbf 0$ (проти альтернативи, що це не 0). По суті,

δ

$\delta$ буде знаходитись у відповідному підпросторі частки

W / U

$W/U$

— Glen_b -Встановити Моніку

@Glen_b Тоді ви маєте на увазі, що теорема Неймана-Пірсона забезпечує висновок?

— Стефан Лоран

Я далекий від експерта з цього матеріалу, і, ймовірно , буду що - то важливе , що я пропустив, але я думаю , що Нейман & Пірсон папір обговорює гіпотези , які включають в себе інші , ніж ті , в тесті невказаних параметрів; це, мабуть, варто вивчити.

— Glen_b -Встановіть Моніку

Шановний @ StéphaneLaurent: Ми цього не можемо знати, оскільки це неправда.

— кардинал

Я спостерігав за цим питанням деякий час, сподіваючись, що хтось із глибшим розумінням класичної теорії випробувань міг би пояснити, чому цей тест не є рівномірно найпотужнішим взагалі так, як пише @cardinal у коментарі. Фольклор полягає в тому, що рівномірно найпотужніші тести можуть бути справді побудовані лише для однобічних гіпотез щодо одновимірних параметрів, але такий коментар насправді не відповідає на питання. $F$ $-$

Приклад 5.5 з теоретичної статистики Кокса і Хінклі показує, що -test є рівномірно найбільш потужним подібним тестом для одновимірного середнього з невідомою дисперсією. З посиланням на методи в "Аналізі варіації" від Scheffé, той же приклад стверджує, що тест гіпотези про один параметр у мультиваріантному випадку все ще є рівномірно найпотужнішим аналогічним тестом з рештою параметрами та дисперсією як параметри неприємності. Коли кодименсія дорівнює 1, -тест еквівалентний -тесту. $t$ $t$ $U$ $F$ $t$

Приклад 5.20, як і раніше у Кокса та Хінклі, вважає ANOVA одностороннім. Він стверджує, що у випадку щонайменше з трьома групами не існує рівномірно найпотужнішого аналогічного тесту гіпотези про відсутність відмінностей між групами. Це дає інгредієнти для показу, що -тест не є рівномірно найпотужнішим, оскільки для конкретних альтернатив існують більш потужні -тести. -test, однак, рівномірно найбільш потужний інваріант тест. $F$ $t$ $F$

То що ж означає подібне та інваріантне ? Вкладена послідовність критичних областей для тестів розміру називається аналогічною, якщо ймовірність відхилення за гіпотезою дорівнює (для всіх можливих варіантів параметрів неприємностей). Тест є інваріантним, якщо критичні області інваріантні в групі перетворень. Для однобічної ANOVA група - це група ортогональних перетворень. Я рекомендую прочитати розділ 5 у Кокса та Хінклі для отримання більш детальної інформації. Дивіться також розділ 2.10 в книзі Шеффе про оптимальні властивості тесту. $\alpha \in [0,1]$ $\alpha$ $F$

— NRH
джерело