Чому для перевірки незалежності використовується розподіл chi-квадрата?

благість-оф-придатний тест використовує наступну статистику : У тесті, враховуючи , що умови виконані, як використовуються - розподіл для обчислення р-значення, враховуючи правда можна було б спостерігати таке значення в репрезентативній вибірці одного і того ж розміру. $\chi^2$

χ_{0}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}}

$\chi_0^2=\sum_{i=1}^n\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

χ^{2}

$\chi^2$

H_{0}

$H_0$

Однак для того, щоб статистика $\chi_0^2$ слідувала за $\chi^2$ (з $n-1$ ступенями свободи), повинно бути правдою, що:

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}} = \sum_{i = 1}^{n - 1} Z_{i}^{2}

$\sum_{i=1}^n\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}=\sum_{i=1}^{n-1}Z_i^2$ для незалежних, стандартних нормальних

Z_{i}

$Z_i$ ( Вікіпедія ). Умови тесту такі (знову ж таки, з Вікіпедії ):

Зразок представника населення
Великий розмір зразка
Очікувана кількість клітин досить велика
Незалежність між кожною категорією

З умов (1,2) видно, що ми задовольняємо умовам для виведення з вибірки до сукупності. (3), здається, потрібне припущення, оскільки дискретний підрахунок $E_i$ , який знаходиться в знаменнику, не призводить до майже безперервного розподілу для кожного $Z_i$ і якщо він недостатньо великий, виникає помилка, яку можна виправити за допомогою Yates «виправлення - це, мабуть, пов’язано з тим, що дискретний розподіл є в основному безперервним« поворотним », тому зсув на $1/2$ для кожного виправляє це.

Здається, необхідність (4) пізніше стане в нагоді, але я не можу зрозуміти як.

Спочатку я подумав, що необхідний, щоб статистика відповідала розподілу. Це мене до сумнівного припущення, що , що було дійсно неправильним. Насправді, із зменшення розмірності для двох сторін рівності від до , це не може бути так. $Z_i=\frac{O_i-E_i}{\sqrt{E_i}}$ $O_i-E_i\sim \mathcal{N}(0, \sqrt{E_i})$ $n$ $n-1$

Завдяки поясненням стало очевидним, що не потрібно дорівнювати кожному оскільки (відзначимо зменшення кількості підсумованих змінних) для стандартних нормальних випадкових величин які функціонально незалежні. $Z_i$ $\frac{O_i-E_i}{\sqrt{E_i}}$ $\chi_0^2=\sum_{i=1}^{n-1}Z_i^2$ $Z_i$

моє запитання : як може слідувати розподілу ? Які види комбінацій кожного з доданків призводять до квадратних стандартних нормалей ? Це вимагає використання CLT, мабуть (і це має сенс), але як? Іншими словами , чому кожен дорівнює (або приблизно дорівнює)? $\chi_0^2$ $\chi^2$ $\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$ $Z_i^2$ $Z_i$

hypothesis-testing chi-squared

— VF1
джерело

Мені цікаво, де ви читаєте, що хтось припускає останнє, що ви сказали ( ). Це не обов'язково: статистика може мати розподіл (принаймні, до надзвичайно хорошого наближення) без жодного з цих стандартизованих залишків, що мають нормальний розподіл. Питання , який ви , здається, хочуть , щоб запитати, як виправдати ці припущення відсилаючи статистики до розподілу? Самі по собі вони цього не роблять. Для обговорення того, що може піти не так, перегляньте мій пост на сайті stats.stackexchange.com/a/17148 .

O_{i} - E_{i} \sim N (0, \sqrt{E_{i}})

$O_i-E_i\sim \mathcal{N}(0, \sqrt{E_i})$

χ^{2}

$\chi^2$

χ^{2}

$\chi^2$ $\chi^2$ $\chi^2$

— качан

З рівності двох сум квадратів ви не можете зробити висновок, що квадратні корені є рівними по терміну! Оскільки це стосується простих чисел, то, безумовно, це стосується і випадкових змінних.

— whuber

Для того, щоб зробити цей бетон, припустимо , що є незалежно один від одного розподілені з розподілів , що мають ступенів свободи і що але для всіх . Тоді хоча жоден з є нормальним, проте має .

(W_{i}), i = 1, \dots, n

$(W_i),i=1, \ldots,n$

χ

$\chi$

ν_{1}, ν_{2}, \dots, ν_{n}

$\nu_1,\nu_2,\ldots,\nu_n$

ν_{1} + ν_{2} + \dots + ν_{n} = n - 1

$\nu_1+\nu_2+\cdots+\nu_n=n-1$

ν_{i} \neq 1

$\nu_i\ne 1$

i

$i$

W_{i}

$W_i$

\sum_{i = 1}^{n} W_{i}^{2}

$\sum_{i=1}^n W_i^2$

χ^{2} (n - 1)

$\chi^2(n-1)$

— whuber

Якщо під "квадратним нормальним нормальним" ви маєте на увазі "суму незалежних стандартних стандартних норм", це питання, я вважаю, що ви справді хотіли поставити на початку :-). І врешті-решт, більшість аналізів ситуації справді посилається на теорему про центральний межа, щоб довести, що стандартизовані залишки асимптотично є нормальними нормальними (але не зовсім незалежними, через що ступеня свободи а не ).

n - 1

$n-1$

n

$n$

— whuber

+1, за те, що я передбачаю, незабаром буде дуже хорошим питанням. Перша проблема - тест на незалежність не використовує заявлену статистику. Статистичні дані, наведені на старті, є одновимірними (сума понад категорій), тоді як тест незалежності вимагає більше однієї змінної. Будь ласка, відредагуйте, щоб внести назву тесту та відповідати статистиці.

n

$n$

— Glen_b -Встановіть Моніку

Відповіді:

Йдеться про розподіл Пуассона. Якщо - Пуассон із середнім , то і дисперсія від - . Це означає, що є подібною сутністю. За CLT, Пуассон прагне до нормальності, оскільки середня величина стає великою, і саме там потрапляє чі-квадрат. Так, це асимптотичний тест. $X$ $\lambda$ $X$ $\lambda$

\frac{(X - λ)^{2}}{λ}

$\frac{(X-\lambda)^2}{\lambda}$

z^{2}

$z^2$

Ступені свободи походять від теореми Кокрана. В основному, Кокран пояснює, як Chi-квадрат трансформується (або залишається незмінним), підлягаючи лінійному перетворенню в балах. $z^2$

\sum_{i} z_{i}^{2} = Z^{'} I Z

$\sum_i z_i^2=Z' I Z$

в матричному позначенні. Якщо замість обчислення звичайну суму квадратів, ви обчислюєте для деякої матриці Q, то ви все одно отримаєте величину з аа розподілу хі-квадрат, але ступеня свободи тепер ранг . У матриці Q є більше умов, але це суть її.

Z^{'} Q Z

$Z' Q Z$

Q

$Q$

Якщо ви з деякими позначеннями матриць, ви можете виразити як квадратичну форму. Cochran передбачає незалежність від початкових нормальних змінних, і тому стовпці вашої лічильної таблиці також повинні бути незалежними.

\sum_{i} (z_{i} - \bar{z})^{2}

$\sum_i (z_i-\bar{z})^2$

— Плацидії
джерело

Вибачте, але ви точно втратили мене в "Якщо замість цього, ви зробите ..."

— VF1,

@ VF1, я вніс зміни, тож сподіваюся, що це буде більш зрозуміло. Теорема Кокрана - це відповідь на ваше запитання про те, коли сума квадратів з нормалами в ній має розподіл chi-квадрата.

— Placidia

Добре, я погляну на це. Залишаю питання відкритим, однак, якщо хтось ще щось додасть.

— VF1

Зазвичай розмір вибірки фіксується. Це означає, що неможливо, щоб будь-яка з записів могла слідувати розподілу Пуассона. Звернення до розповсюдження Пуассона, схоже, це лише чергове наближення - і, здається, залишає нас саме там, де ми почали.

— whuber

Відповідно до підручника "Вступна статистика з рандомізацією та моделюванням", розділ 3.3.2 (підручник, вільно доступний у OpenIntro ), статистика тесту намагається акумулювати відхилення спостережуваних від очікуваних. І відхилення справді виражаються через термін $\chi^2$

Z_{i} = \frac{O_{i} - E_{i}}{\sqrt{E_{i}}}

$Z_i = \frac{O_i - E_i}{\sqrt{E_i}}$

яка фактично походить від .

\frac{O_{i} - E_{i}}{(S t a n d a r d E r r o r O f T h e O b s e r v e d)}

$\frac{O_i - E_i}{(Standard Error Of The Observed)}$

У підручнику йдеться про те, що краще оцінюється через , тому термін стає . Навчальний посібник насправді не пояснює, чому така заміна є прийнятною, і я також хотів би це з'ясувати. $(StandardErrorOfTheObserved)$ $\sqrt{E_i}$ $Z_i = \frac{O_i - E_i}{\sqrt{E_i}}$

У будь-якому випадку, ви можете створити тестову статистику форми

Z = | Z_{1} | + | Z_{2} | + | Z_{3} | + . . .

$Z = |Z_1| + |Z_2| + |Z_3| + ...$

χ^{2} = Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} + Z_{3}^{2} + . . .

$\chi^2 = Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 +...$

$\chi^2$ $\chi^2$

$\chi^2$

— CamilB
джерело