Як обчислити параметр регуляризації в регресії хребта із заданими ступенями свободи та вхідною матрицею?

Нехай A - матриця незалежних змінних, а B - відповідна матриця залежних значень. У коника регресії, визначимо параметр так , що: . Тепер нехай [usv] = svd (A) і діагональний запис 's'. визначимо ступені свободи (df) = . Регресія хребта зменшує коефіцієнти низькодисперсних компонентів, а отже параметр контролює ступеня свободи. Отже, дляn × 1 λ β = ( A T A + λ I ) - 1 A T B d i = i t h ∑ n i = 1 ( d i ) $n \times p$$n \times 1$$\lambda$$\beta=(A^\mathrm{T}A+\lambda I)^{-1}A^\mathrm{T}B$$d_{i}=i^{th}$ λλ=$\sum_{i=1}^{n} \frac{(d_{i})^2}{(d_{i})^2+\lambda}$$\lambda$$\lambda=0$, що є випадком нормальної регресії, df = n, а значить, будуть розглянуті всі незалежні змінні. Проблема, з якою я стикаюся, полягає у знаходженні значення заданого 'df', і матриці 's'. Я намагався впорядкувати вищевказане рівняння, але не отримував рішення закритої форми. Будь ласка, надайте будь-які корисні вказівники.$\lambda$

Для цього підходить алгоритм серії Ньютона-Рафсона / Фішер-балів / Тейлора.

Ви маєте рівняння для розв’язання для h ( λ ) = p ∑ i = 1 d 2 $\lambda$ з похідною ∂

$$h(\lambda)=\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{d_{i}^{2}+\lambda}-df=0$$ Потім ви отримаєте: h(λ)≈h(λ(0))+(λ-λ(0))∂ $$\frac{\partial h}{\partial \lambda}=-\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{(d_{i}^{2}+\lambda)^{2}}$$ $$h(\lambda)\approx h(\lambda^{(0)})+(\lambda-\lambda^{(0)})\frac{\partial h}{\partial \lambda}|_{\lambda=\lambda^{(0)}}=0$$

перестановивши для ви отримаєте: λ = λ ( 0 ) - [ ∂ $\lambda$

$$\lambda=\lambda^{(0)}-\left[\frac{\partial h}{\partial \lambda}|_{\lambda=\lambda^{(0)}}\right]^{-1}h(\lambda^{(0)})$$ $d^{2}_{i}=1$$\lambda^{(0)}=\frac{p-df}{df}$

$$\lambda^{(j+1)}=\lambda^{(j)}+\left[\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{(d_{i}^{2}+\lambda^{(j)})^{2}}\right]^{-1}\left[\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{d_{i}^{2}+\lambda^{(j)}}-df\right]$$

$\lambda$$\lambda$

Ось невеликий код Matlab на основі формули, доведеної ймовірнісними:

function [lamda] = calculate_labda(Xnormalised,df)
    [n,p] = size(Xnormalised);   

    %Finding SVD of data
    [u s v]=svd(Xnormalised);
    Di=diag(s);
    Dsq=Di.^2;

    %Newton-rapson method to solve for lamda
    lamdaPrev=(p-df)/df;
    lamdaCur=Inf;%random large value
    diff=lamdaCur-lamdaPrev;   
    threshold=eps(class(XstdArray));    
    while (diff>threshold)          
        numerator=(sum(Dsq ./ (Dsq+lamdaPrev))-df);        
        denominator=sum(Dsq./((Dsq+lamdaPrev).^2));        
        lamdaCur=lamdaPrev+(numerator/denominator);        
        diff=lamdaCur-lamdaPrev;        
        lamdaPrev=lamdaCur;        
    end
    lamda=lamdaCur;
end