Геометрична інтерпретація оцінки максимальної ймовірності

Я читав книгу "Проблема ідентифікації в економетрії " Франкліна М. Фішера, і мене бентежила частина, що він демонструє ідентифікацію шляхом візуалізації функції ймовірності.

Проблему можна спростити як:

Для регресії , де u ∼ i . i . д . N ( 0 , σ 2 I ) , a і b - параметри. Припустимо, Y має коефіцієнт c, який дорівнює одиниці. Тоді функція вірогідності в просторі c , a , b мала б хребет уздовж променя, що відповідає вектору справжніх параметрів та його скалярних кратних$Y=a+Xb+u$$u \sim i.i.d. N(0,\sigma^2I)$$a$$b$$Y$$c$$c, a,b$. Якщо розглядати лише місце, задане , функція ймовірності мала б унікальний максимум у точці, де промінь перетинав цю площину.$c=1$

Мої запитання:

1. Як слід розуміти та міркувати про хребет та промінь, про які йдеться у демонстрації.
2. Оскільки промінь є справжніми параметрами та скалярами, чому промінь не знаходиться на площині, заданій оскільки справжнє значення параметра c дорівнює 1.$c=1$$c$

Поза контекстом цей уривок трохи розпливчастий, але ось як я його інтерпретував.

Припустимо , що я хотів , щоб виконати лінійну регресію . Я б написав c Y = a ′ + X b ′ + u, де u ∼ N ( 0 , c 2 σ 2 ) . Якщо Y = a 0 + X b 0 - це істинні параметри, то чітко c Y = c a 0 + X c b 0 - це істинні параметри c $cY$$cY = a' +Xb' + u$$u \sim N(0, c^2 \sigma^2)$$Y=a_0+Xb_0$$cY = c a_0 + Xcb_0$$cY$.

Для фіксованого функція ймовірності для цієї регресії на c Y має унікальний максимум у точці a ′ = c a 0 і b ′ = c b 0 . Таким чином, для загального c промінь скалярного множення істинного параметра формує гребінь функції ймовірності як функцію від трьох змінних. Тепер візьмемо c = 1 для перетину з площиною c = 1 .$c$$cY$$a'=ca_0$$b' = cb_0$$c$$c=1$$c=1$