Оскільки бета-розподіл за формою схожий на біноміальний, чому нам потрібен бета-розподіл?

Здається, що біноміальний розподіл за формою дуже схожий на бета-розподіл і що я можу повторно параметризувати константи на будь-якому pdf, щоб вони виглядали однаково. Отже, навіщо нам потрібен бета-розподіл? Це з конкретною метою? Дякую!

Вони споріднені, але насправді не такі схожі за формою.

У бета-версії змінна (і її доповнення) піднімається до деякої потужності, але в біномальній змінна є потужністю (і вона також з'являється в двочленному коефіцієнті).

Хоча функціональні форми виглядають дещо однаково (в одній є терміни, які відповідають термінам в іншій), змінні, що представляють параметри і випадкову змінну в кожній, відрізняються. Це досить важливо; тому вони насправді зовсім не одне і те ж.

Біноміальний розподіл зазвичай використовується для підрахунків чи у масштабній формі для пропорцій на основі підрахунку (хоча ви можете використовувати його для інших обмежених дискретних випадкових змінних на суто прагматичній основі). Це дискретно.

Розподіл бета-версії є безперервним і тому зазвичай не використовується для підрахунків.

Для прикладу порівняйте ці дві функції:

$y = b^x,\, x=0,1,2,3,...$ і .$y = x^a,\, 0<x<1$

Обидві ці функції визначаються виразами однієї форми (щось із форми ), але ролі змінних і постійних змінюються між собою, а область дорівнює. Зв'язок між бета-версією та біноміалом подібний до відносин між цими двома функціями.$c^d$

- Підсумовуючи: різну форму та домен

Ось простий приклад бета-розподілу . Який біноміальний розподіл виконує ту саму роботу?$\text{beta}(1,1)$

Або розглянемо ; важко знайти двочлен, який буде схожий. Ось одна спроба:$\text{beta}(2,1)$

Весь бета-pdf розташований між першими двома зеленими шипами у двочленному pf, хоча вони справді не можуть бути показані на одній графіці, оскільки осі y вимірюють різні речі.

Хоча форми нечітко схожі в тому сенсі, що вони обоє залишені косою, вони насправді зовсім інші і використовуються для різних речей.

-

Ось виклик:

Для та знайдіть біноміальні розподіли (імовірно масштабовані), які можуть одночасно досить точно (скажімо, в межах разів, більше правильної ймовірності, дайте або візьміть), які мають однакове середнє значення та дисперсію, або середнє значення та діапазон (ви вибираєте), але також приблизно відтворюють ймовірність опинитися у цих трьох підінтервалах: (a) , (b) і (c)$X_1\sim\text{beta}(1,1)$$X_2\sim\text{beta(3,2)}$$c=(0.95, 1.05)$$(1/\pi,1/e)$$(\exp(-\frac{1}{2}),2/\pi)$$(\exp(-3),1/\pi^2)$

Бета використовується для виконання багатьох речей, включаючи безперервні пропорції моделі, які діють як пріоритетні для параметра двочлена, це розподіл статистики єдиного порядку (і може використовуватися при виведенні статистики розподілу замовлень для інших безперервні розподіли, використовувані як змішувальний розподіл для біноміального (виробляючи бета-біноміальний розподіл), для моделювання часу виконання завдання в управлінні проектами та багатьох інших речей.$p$$p$