Вибірковий розподіл радіусу 2D нормального розподілу

Однорядне нормальне розподіл із середньою та коваріаційною матрицею можна переписати у полярні координати з радіусом та кутом . Моє запитання: Який розподіл вибірки , тобто відстані від точки до розрахункового центру даною вибірковою коваріаційною матрицею ? $\mu$ $\Sigma$ $r$ $\theta$ $\hat{r}$ $x$ $\bar{x}$ $S$

Передумови: Справжня відстань від точки до середньої слідує за розподілом Хойта . З власними значеннями з та , його параметр форми дорівнює , а його масштабним параметром є . Відомо, що функція кумулятивного розподілу є симетричною різницею між двома Q-функціями Маркума. $r$ $x$ $\mu$ $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ $\Sigma$ $\lambda_{1} > \lambda_{2}$ $q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$ $\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$

Моделювання передбачає, що включення оцінок і для і у справжній cdf працює для великих зразків, але не для малих зразків. На наступній схемі показані результати за 200 разів $\bar{x}$ $S$ $\mu$ $\Sigma$

імітуючи 20 2D нормальних векторів для кожної комбінації заданих $q$ ( $x$ ), $\omega$ (рядки) та квантилі (стовпці)
для кожного зразка, обчислення заданого квантиля спостережуваного радіуса до $\hat{r}$ $\bar{x}$
для кожного зразка, розрахунок квантиля від теоретичного Hoyt (2D нормального) CDF, так і з теоретичним Релєєм CDF після включення в оцінках зразків $\bar{x}$ і $S$ .

введіть тут опис зображення

Коли $q$ наближається до 1 (розподіл стає круговим), оцінені кванти Хойта наближаються до оцінених квантів Релея, на які не впливає $q$ . З ростом $\omega$ різниця між емпіричними квантовими та оціненими зростає, особливо в кінці розподілу.

— каракал
джерело

У чому питання?

— Іван

@ Джон Я виділив питання: "Який розподіл вибірки [радіусу]

, тобто відстані від точки

до розрахункового центру

за матрицею узгодженості вибірки

r

$r$

x

$x$

\bar{x}

$\bar{x}$

S

$S$

— каракал

Чому

, на відміну від

\hat{r}

$\hat{r}$

\hat{r^{2}}

$\hat{r^2}$

— SomeEE

@MathEE

просто тому , що в літературі я НЕ знаю пов'язаний з розподілом (істинний)

, а ні (істинний)

. Зауважте, що це не схоже на ситуацію з відстані махаланобіса, про яку йдеться в цьому питанні . Звичайно, результати для розподілу

були б дуже бажані.

\hat{r}

$\hat{r}$

r

$r$

r^{2}

$r^{2}$

{\hat{r}}^{2}

$\hat{r}^{2}$

— каракал

Як ви вже згадували у своєму дописі, ми знаємо розподіл оцінки якщо нам дано тому ми знаємо розподіл оцінки істинного . $\widehat{r_{true}}$ $\mu$ $\widehat{r^2_{true}}$ $r^2$

Хочемо знайти розподіл девиражаються у вигляді векторів стовпців.

\hat{r^{2}} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (х_{i} - \bar{х})^{Т} (х_{i} - \bar{х})

$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$

x_{i}

$x_i$

Зараз ми робимо стандартний трюк

девиникає з рівняння

\begin{array}{rcl} \hat{r_{т r у е}^{2}} & = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (х_{i} - мк)^{Т} (х_{i} - мк) \\ = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (х_{i} - \bar{х} + \bar{х} - мк)^{Т} (х_{i} - \bar{х} + \bar{х} - мк) \\ = & [\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (х_{i} - \bar{х})^{Т} (х_{i} - \bar{х})] + (\bar{х} - мк)^{Т} (\bar{х} - мк) (1) \\ = & \hat{r^{2}} + (\bar{х} - мк)^{Т} (\bar{х} - мк) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$

(1)

$(1)$

і його транспозиція.

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (х_{i} - \bar{х})^{Т} (\bar{х} - мк) = (\bar{х} - \bar{х})^{Т} (\bar{х} - мк) = 0

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$

Зауважте, що - слід матриці коваріації вибірки і залежить лише від середнього зразка . Таким чином, ми записали $\widehat{r^2}$ $S$ $(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ $\overline{x}$

\hat{r_{т r у е}^{2}} = \hat{r^{2}} + (\bar{х} - мк)^{Т} (\bar{х} - мк)

$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ як сума двох незалежних випадкових величин. Ми знаємо, що розподіли

тому ми робимо за допомогою стандартного трюку, використовуючи, що характерні функції є мультиплікативними.

\hat{r_{t r u e}^{2}}

$\widehat{r^2_{true}}$

(\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

Відредаговано, щоб додати:

це Хойт, тому він має pdf $||x_i-\mu||$

f (ρ) = \frac{1 + q^{2}}{q ω} ρ e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ^{2}} I_{O} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ^{2})

$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$

I_{0}

$I_0$

0^{t h}

$0^{th}$

$||x_i-\mu||^2$

f (ρ) = \frac{1}{2} \frac{1 + q^{2}}{q ω} e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ} I_{0} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ) .

$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$

$a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$ $b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$ $c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

$||x_i-\mu||^2$

{\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s - b)^{2} - a^{2}}} & (s - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$

$\widehat{r^2_{true}}$

{\begin{cases} \frac{c^{N}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{N / 2}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

| | \bar{x} - μ | |^{2}

$||\overline{x} - \mu||^2$

{\begin{cases} \frac{N c}{\sqrt{(s - N b)^{2} - (N a)^{2}}} = \frac{c}{\sqrt{(s / N - b)^{2} - a^{2}}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$

$\widehat{r^2}$

{\begin{cases} \frac{c^{N - 1}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{(N - 1) / 2}} & (s / N - b) > а \\ 0 & ще . \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$

$\widehat{r^2}$

g (ρ) = \frac{\sqrt{π} N c^{N - 1}}{Γ (\frac{N - 1}{2})} {(\frac{2 i a}{N ρ})}^{(2 - N) / 2} e^{b N ρ} J_{N / 2 - 1} (i a N ρ) .

$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$

— SomeEE
джерело

Дякую! Мені доведеться опрацювати деталі, перш ніж приймати.

— каракал

\hat{r_{true}^{2}} \sim Hoyt

$\widehat{r^{2}_{\text{true}}} \sim \text{Hoyt}$

| | \bar{x} - μ | |^{2} \sim N (0, \frac{1}{N} Σ)

$||\bar{x}-\mu||^{2} \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{N}\Sigma)$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

Σ

$\Sigma$

t

$t$

Я відредагував свою відповідь на повну відповідь. Будь ласка, дайте мені знати, якщо ви згодні.

— SomeEE

Σ

$\Sigma$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^2}$

S

$S$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} S^{- 1} (x_{i} - \bar{x})

$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T S^{-1}(x_i-\overline{x})$ . На жаль, ця сума завжди є

1

$1$ .

— SomeEE

Дякуємо, що продовжуєте працювати над відповіддю! Я не впевнений у розподілі

| | x_{i} - μ | |^{2}

$||x_{i}-\mu||^{2}$ . Я не в змозі розібратися з цим аналітично, але швидким моделюванням

r^{2}

$r^{2}$ дає інший розподіл, ніж

Γ (q, \frac{ω}{q})

$\Gamma(q, \frac{\omega}{q})$ : R імітаційний код . Хоча цілком могло бути і те, що я правильно не розумію

Γ

$\Gamma$ параметризація.

— каракал