Чи існує сполучник до розподілу Лапласа?

Чи існує сполучник до розподілу Лапласа ? Якщо ні, то чи відомий вираз закритої форми, який наближає до заднього для параметрів розподілу Лапласа?

Я гуляв досить багато, не маючи успіху, тому моє теперішнє здогадка "ні" на вищезазначені питання ...

Давайте спочатку розглянемо їх по черзі (приймаючи інше як дане).

За посиланням (з модифікацією відповідно до конвенції про використання грецьких символів для параметрів):

$f(x|\mu,\tau) = \frac{1}{2\tau} \exp \left( -\frac{|x-\mu|}{\tau} \right) \,$

- параметр масштабу :

$\cal{L}(\tau) \propto \tau^{-k-1} e^{-\frac{S}{\tau}} \,$

при певних значеннях і . Тобто вірогідність зворотного гамма-форми.$k$$S$

Таким чином, параметр шкали має кон'югат попереднього - шляхом огляду попереднього сполучення є зворотною гаммою.

- параметр розташування

Це, дійсно, складніше, тому щоне спрощується в щось зручне в ; Я не думаю, що існує спосіб "зібрати терміни" (ну і таким чином, але нам все одно не потрібно).$\sum_i|x_i-\mu|$$\mu$

Рівномірний пріоритет просто уріже задню частину, що не так вже й погано працювати, якщо це здається правдоподібним як попереднє.

Цікавою можливістю, яка інколи може бути корисною, є досить легко включити попередній Лаплас (той, що має ту саму шкалу, що і дані), використовуючи псевдоспостереження. Можна також наблизити якусь іншу (більш жорстку) попередню за допомогою декількох псевдоспостережень)

Насправді, щоб узагальнити це, якби я працював з Лапласом, я б спокусився просто узагальнити від постійної ваги-постійної ваги до роботи із зваженою версією спостереження Лапласа (що рівно потенційно відрізняється шкалою для кожна точка даних) - імовірність журналу все ще є лише безперервною кусочно-лінійною функцією, але нахил може змінюватися на нецілі суми в точках приєднання. Тоді існує зручне попереднє "сполучення" - просто ще один "зважений" Лаплас або, справді, будь-яка форма абоexp ( - ∑ j w ∗ j | μ - θ j |$\exp(-\sum_j |\mu-\theta_j|/\phi_j)$$\exp(-\sum_j w^*_j|\mu-\theta_j|)$(хоча його потрібно буде відповідним чином масштабувати, щоб зробити фактичну щільність) - дуже гнучка сім'я розподілів, яка, очевидно, призводить до задньої "тієї ж форми", що ймовірність зваженого спостереження, і щось легко працювати з малювати; насправді навіть псевдоспостереження все ще працює.

Він також досить гнучкий, щоб його можна було використовувати для наближення інших пріорів.

(Більш загальне все-таки, можна було б працювати в масштабі журналу і використовувати безперервний, кусково-лінійний логаритмічний увігненний до цього, а задній також буде такої форми; це має включати асиметричний Лаплас як особливий випадок)

Приклад

Тільки щоб показати, що з цим досить легко впоратися - нижче - пріоритетний (пунктирний сірий), вірогідність (пунктирний, чорний) та задній (суцільний, червоний) для параметра розташування зваженого Лапласа (... це було з відомими масштабами ).

Зважений підхід Лапласа добре би працював у MCMC, я думаю.

-

Цікаво, чи отриманий задній режим є середньозваженою?

- насправді (щоб відповісти на моє власне запитання), схоже, що відповідь на це «так». Це робить досить приємно працювати.

-

Спільний пріоритет

Очевидним підходом було б написати : було б відносно легко мати у тому ж вигляді, що і вище - де може бути коефіцієнтом масштабування на попередній, тому попередній буде вказаний відносно - а потім обернена гамма до , безумовно.μ | τ τ τ $f(\mu,\tau)=f(\mu|\tau)f(\tau)$$\mu|\tau$$\tau$$\tau$$\tau$

Безсумнівно, щось більш загальне для спільного початку є цілком можливим, але я не думаю, що я буду продовжувати спільну справу далі, ніж тут.

-

Я ніколи не бачив і не чув цього попереднього підходу із зваженим рівнем, але придумати його було досить просто, так що, мабуть, це вже було зроблено. (Довідники вітаються, якщо хтось знає про що-небудь.)

Якщо взагалі ніхто не знає жодних посилань, можливо, я повинен щось написати, але це було б дивним.