Чи є "тестова статистика" значенням або випадковою змінною?

Я зараз студент, який проходить свій перший курс статистики. Мене бентежить термін "тестова статистика".

У наступному (я бачив це в деяких підручниках), здається, що це конкретне значення, обчислене з конкретної вибірки. t = ¯ x - μ $t$

Однак у наступному (я це бачив у деяких інших підручниках), здається випадковою змінною. T = ¯ X - μ $T$

Отже, чи означає термін "тестова статистика" конкретне значення або випадкову змінну, або те й інше ?

Коротка відповідь - «так».

Традиція в позначенні полягає у використанні верхньої літери (T вище) для представлення випадкової величини, а нижньої літери (t) для представлення конкретного значення, обчисленого або спостережуваного цієї випадкової величини.

T - випадкова величина, оскільки вона представляє результати обчислення з вибірки, обраної випадковим чином. Після того, як ви берете вибірку (і випадковість закінчена), ви можете обчислити t, конкретне значення та зробити висновки на основі того, як t порівнюється з розподілом T.

Таким чином, тестова статистика є випадковою змінною, коли ми думаємо про всі значення, які вона може взяти на основі всіх різних вибірок, які ми могли б зібрати. Але як тільки ми збираємо єдиний зразок, ми обчислюємо конкретне значення тестової статистики.

Тестова статистика - це статистика, яка використовується для прийняття рішення про нульову гіпотезу.

Статистика - це реалізоване значення (наприклад, t): статистика - це числове значення, яке визначає щось про вибірку. Оскільки статистичні дані використовуються для оцінки значення параметру популяції, вони самі є значеннями. Оскільки (досить довгі) вибірки весь час різні, статистичні дані (числові твердження про вибірки) будуть різними. Розподіл вірогідності статистики, отриманої через велику кількість вибірок, узятих з конкретної сукупності, називається його розподілом вибірки - розподілом цієї статистики, що розглядається як випадкова величина.

Статистика є випадковою змінною (наприклад, T): статистикою є будь-яка функція даних (незмінна від вибірки до вибірки). Дані описуються випадковими змінними (певного відповідного виміру). Оскільки будь-яка функція випадкової змінної сама по собі є випадковою змінною, то статистика є випадковою змінною.

З контексту майже завжди зрозуміло, який сенс призначений, особливо коли дотримується верхньої / малої конвенції.

Тестова статистика - це спостереження, характерне для ваших спостережуваних даних, яке слід за розподілом ймовірності за даним припущенням. Це припущення, як правило, називають$H_0$.

Наприклад, у вашому зразку статистика тесту (називається t-статистика) залежить від спостережуваних даних ($\bar{x}$ і $s$ обидва отримані з даних).

Під припущенням, що ваша середня величина $\mu_0$, обчислена вами статистика буде дотримуватися певного розподілу. Тоді ймовірність цього значення статистичної статистики визначається при припущенні. Якщо це значення вважається низьким, припущення ($H_0$) відхилено.

Якщо ми відкинемо $H_0$припущення, це не означає, що припущення, яке ми зробили, було гарантовано неправдивим. Якщо це було правдою, і ми відхилили її через низьку ймовірність тестової статистики під$H_0$, ми називаємо це помилкою I типу .

З іншого боку, якщо ми приймаємо припущення, це не означає, що наше припущення напевно було правдивим. Якщо припущення було неправдивим, і ми прийняли його, оскільки воно мало досить високу ймовірність за нашим помилковим припущенням, це називається помилкою II типу .

Статистика є специфічним значенням, і лише якщо ми приймаємо певні припущення, маючи на увазі, ми можемо припустити, що вона відповідає конкретному розподілу ймовірностей.

Цей принцип справедливий для всієї статистики тестів, а не лише для t-статистики, яку ви згадуєте тут.