Чи очікування те саме, що середнє?

Я займаюся ML у своєму університеті, і професор згадував термін Очікування (Е), в той час як він намагався пояснити нам деякі речі про Гауссові процеси. Але з того, як він це пояснив, я зрозумів, що E - це те саме, що і середнє μ. Я правильно зрозумів?

Якщо це однаково, то чи знаєте ви, чому обидва символи використовуються? Також я бачив, що E можна використовувати як функцію, як E ( ), але я не бачив цього для μ. $x^2$

Може хтось допоможе мені краще зрозуміти різницю між ними?

machine-learning gaussian-process linear-algebra

— Джим Блюм
джерело

Для безперервного , , де є функцією щільності ймовірності. Тож це правда лише тоді, коли аргументом єОднак це може бути істинним, якщо ми маємо , де - щось інше, ніж функція тотожності.

X

$X$

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) x d x = μ (x)

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)x dx = \mu(x)$

f (x)

$f(x)$

X

$X$

E [g (X)] = E [X] = μ (X)

$E[g(X)] = E[X] = \mu(X)$

g

$g$

— Jase

@Jase ? Чому права сторона є функцією , яка повинна зникнути після підстановки меж при оцінці інтеграла?

μ (x)

$\mu(x)$

x

$x$

— Діліп Сарват

@DilipSarwate був друком . Означає сказати .

μ (x)

$\mu(x)$

μ = μ (X)

$\mu = \mu(X)$

— Jase

Джон: якби я був ти, я б вивчив основну ймовірність перед тим, як пройти уроки машинного навчання / Гауссових процесів. Подивіться на цю книгу: math.uiuc.edu/~r-ash/BPT.html

— Zen

Дякую, хлопці, за допомогу! Я не сподівався на стільки відгуків. @Zen Дякую за вашу пораду. Я абсолютно з вами згоден. Я сприйняв модуль як недооцінку ймовірностей та статистики, однак, ми просто мали просте введення при розподілах та ймовірностях, і, на жаль, ми не зробили їх глибоко. Крім того, ми не згадували термін "очікування". Зараз я намагаюся самостійно покрити прогалини в статистиці та ймовірності.

— Джим Блюм

Відповіді:

Очікування / очікуване значення - це оператор, який можна застосувати до випадкової величини. Для дискретних випадкових величин (наприклад, двочленних) з можливими значеннями вона визначається як . Тобто це середнє значення можливих значень, зважених на ймовірність цих значень. Безперервні випадкові величини можна розглядати як узагальнення цього: . Середнє значення випадкової величини - синонім очікування. $k$ $\sum_i^k x_i p(x_i)$ $\int x dP$

Гауссовий (нормальний) розподіл має два параметри та . Якщо нормально розподілений, то . Отже, середнє значення розподіленої змінної Гаусса дорівнює параметру . Це не завжди так. Візьмемо біноміальне розподіл, у якого є параметри і . Якщо біноміально розподілений, то . $\mu$ $\sigma^2$ $X$ $E(X)=\mu$ $\mu$ $n$ $p$ $X$ $E(X)=np$

Як ви бачили, ви також можете застосувати очікування до функцій випадкових величин, так що для гауссового можна знайти, що . $X$ $E(X^2)=\sigma^2+\mu^2$

Сторінка Вікіпедії про очікувані значення є досить інформативною: http://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value

— Джеремі Койл
джерело

"... так що для Гаусса ви можете знайти, що " Чи абсолютно необхідно, щоб від Гауссана дотримувався цих відносин?

X

$X$

E (X^{2}) = σ^{2} + μ^{2}

$E(X^2)=\sigma^2+\mu^2$

X

$X$

— Діліп Сарват

Співвідношення завжди буде дотримано, але я б очікував відповіді, написаної з точки зору параметрів розподілу. Тож якби я хтось запитав, що є для розподіленого двочлена , я би очікував відповіді , а не

E (X^{2}) = V (X) + E (X)^{2}

$E(X^2)=V(X)+E(X)^2$

E (X^{2})

$E(X^2)$

X

$X$

(n, p)

$(n,p)$

n p (1 - p) + (n p)^{2}

$np(1-p)+(np)^2$

σ^{2} + μ^{2}

$\sigma^2+\mu^2$

— Джеремі Койл

Але якби ви запитали, що було для біноміальної випадкової величини із середнім та дисперсією , відповідь буде . Зазначимо, що біноміальні випадкові величини зазвичай параметризуються за допомогою і , але що робити? З середньої та відхилення ми можемо легко знайти та

E (X^{2})

$E(X^2)$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2} + μ^{2}

$\sigma^2+\mu^2$

n

$n$

p

$p$

p = 1 - \frac{variance}{mean}

$p = 1 - \frac{\text{variance}}{\text{mean}}$

n = \frac{mean}{p} = \frac{{mean}^{2}}{mean - variance} .

$n = \frac{\text{mean}}{p} = \frac{\text{mean}^2}{\text{mean}-\text{variance}}.$

— Діліп Сарват

Вся суть прикладу полягала в тому, щоб розрізняти параметри розподілу та моменти розподілу. Так, можна перемацати розподіли з точки зору їхніх моментів, але оскільки ОП запитувала про зв’язок між та , видається важливим продовжувати робити це розмежування. Чи є причина, що ви вирішили бути педантичним щодо цього питання?

E (X)

$E(X)$

μ

$\mu$

— Джеремі Койл

Дякую великий Джеремі! Відмінна відповідь. ви були дуже корисні!

— Джим Блюм

Очікування з позначенням оператора E () (різними перевагами для гарних шрифтів, римських або курсивних, простих чи фантазійних) є загальне розуміння аргументу, але в математичному чи теоретичному контексті. Термін сходить до Крістіану Гюйгенсу в 17 столітті. Ця ідея чітка в теорії ймовірностей і математичній статистиці, і, наприклад, книга Пітера Уіттла " Імовірність через очікування" дає зрозуміти, як її можна зробити ще центральнішою.

В основному це лише питання умовності, що засоби (середні показники) також часто виражаються досить по-різному, особливо поодинокими символами, і особливо, коли ці засоби слід обчислювати з даних. Однак Уіттл у щойно цитованій книзі використовує позначення A () для усереднення та кутових дужок навколо змінних чи виразів, які слід усереднювати, є загальними у фізичній науці.

— Нік Кокс
джерело