Оцінка параметрів LogLikelihood для лінійного фільтра Гаусса Кальмана

Я написав деякий код, який може робити фільтрацію Кальмана (використовуючи ряд різних фільтрів типу Кальмана [Інформаційний фільтр та ін.]) Для лінійного аналізу простору Гаусса для простору для n-мірного вектора стану. Фільтри чудово працюють, і я отримую хороший вихід. Однак, оцінка параметрів за допомогою оцінки логічності, мене бентежить. Я не статистик, а фізик, тому будьте ласкаві.

Розглянемо лінійну модель Гауссового державного простору

де $y_{t}$ - наш вектор спостереження, $\alpha_{t}$ наш вектор стану на етапі часу $t$ . Величини жирним шрифтом є матрицями перетворення моделі простору стану, які встановлюються відповідно до характеристик розглянутої системи. У нас теж є

η t ∼ N I D ( 0 , Q t ) , α 1 ∼ N I D ( a 1 , P 1 )

де $t = 1,\ldots, n$ . Тепер я вивів та реалізував рекурсію для фільтра Калмана для цієї загальної моделі простору стану, відгадуючи початкові параметри та дисперсійні матриці $\mathbf{H}_{1}$ та $\mathbf{Q}_{1}$ Я можу створити графіки подобається

де точки - рівень води річки Ніл за січень протягом 100 років, лінія - стан Оцінюваного Каламну, а пунктирні лінії - рівень довіри 90%.

Тепер для цього набору даних 1D матриці і є просто скалярами і відповідно. Отож, зараз я хочу отримати правильні параметри для цих скалярів, використовуючи вихід з фільтра Калмана та функцію реєстрації правдоподібності$\mathbf{H}_{t}$$\mathbf{Q}_{t}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

Де - помилка стану, а - дисперсія помилки стану. Тепер ось де я плутаюсь. З фільтра Калмана я маю всю інформацію, яка мені потрібна для опрацювання , але це, здається, не наближає мене до можливості розрахувати максимальну ймовірність та . Моє запитання полягає в тому, як я можу обчислити максимальну ймовірність та використовуючи підхід логічності та рівняння вище? Алгоритмічна розбивка була б для мене зараз холодним пивом ...$v_{t}$$\mathbf{F}_{t}$$L$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

Дякую за ваш час.

Примітка. Для 1D випадку і . Це універсальна модель місцевого рівня. H t = σ 2 $\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\epsilon}$$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\eta}$

Якщо запустити фільтр Кальмана так, як у вас є, із заданими значеннями та , ви отримаєте послідовність нововведень та їхніх коваріацій , отже, ви можете обчислити значення значення використовуючи формулу, яку ви надаєте. σ 2 η ν $\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\nu_t$ log L ( Y n$\boldsymbol{F_t}$$\log L(Y_n)$

Іншими словами, ви можете розглядати фільтр Кальмана як спосіб обчислення неявної функції та . Єдине, що вам потрібно зробити, це упакувати цей обчислення у функцію або підпрограму та обробити цю функцію в рутині оптимізації - як у Р. Цю функцію слід прийняти як входи та і повернути .$\sigma_\epsilon^2$ σ 2 ϵ σ 2 η log L ( Y n$\sigma^2_\eta$optim$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\log L(Y_n)$

Деякі пакети в R (наприклад dlm) роблять це за вас (див. Функцію, наприклад, dlmMLE).