Виведення загальної (в межах класу + між класом) матриці розсіювання

Я спішився з методами PCA та LDA, і я застряг у певній точці, у мене таке відчуття, що це так просто, що я не бачу цього.

Матриці розсіювання в межах класу ( ) та між класом ( ) визначаються як: $S_W$ $S_B$

S_{W} = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i}) (x_{t}^{i} - μ_{i})^{T}

$S_W = \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu_i)(x_t^i - \mu_i)^T$

S_{B} = \sum_{i = 1}^{C} N (μ_{i} - μ) (μ_{i} - μ)^{T}

$S_B = \sum_{i=1}^CN(\mu_i-\mu)(\mu_i-\mu)^T$

Матриця сумарного розсіювання задається як: $S_T$

S_{T} = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ)^{T} = S_{W} + S_{B}

$S_T = \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu)(x_t^i - \mu)^T = S_W + S_B$

де C - кількість класів і N - кількість зразків - вибірки, - середнє число класів, - загальне середнє значення. $x$ $\mu_i$ $\mu$

Намагаючись отримати я дійшов до моменту, коли мав: $S_T$

(x - μ_{i}) (μ_{i} - μ)^{T} + (μ_{i} - μ) (x - μ_{i})^{T}

$(x-\mu_i)(\mu_i-\mu)^T + (\mu_i-\mu)(x-\mu_i)^T$

як термін. Це має бути нульовим, але чому?

Дійсно:

\begin{aligned} S_{T} & = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ)^{T} \\ = \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i} + μ_{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ_{i} + μ_{i} - μ)^{T} \\ = S_{W} + S_{B} + \sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} [(x_{t}^{i} - μ_{i}) (μ_{i} - μ)^{T} + (μ_{i} - μ) (x_{t}^{i} - μ_{i})^{T}] \end{aligned}

$\begin{align} S_T &= \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu)(x_t^i - \mu)^T \\ &= \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu_i + \mu_i - \mu)(x_t^i - \mu_i + \mu_i - \mu)^T \\ &= S_W + S_B + \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N\big[(x_t^i - \mu_i)(\mu_i - \mu)^T + (\mu_i - \mu)(x_t^i - \mu_i)^T\big] \end{align}$

discriminant-analysis

— німкап
джерело

x

$x$

m

$m$

m_{i}

$m_i$

m

$m$

m_{i}

$m_i$

μ

$\mu$

μ_{i}

$\mu_i$

@whuber: Ви абсолютно праві, я переглянув своє запитання.

— nimcap

Якщо ви припускаєте

\frac{1}{N} \sum_{t = 1}^{N} x_{t}^{i} = μ_{i}

$\frac{1}{N}\sum_{t=1}^Nx_t^{i}=\mu_i$

Потім

\sum_{i = 1}^{C} \sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i}) (μ_{i} - μ)^{T} = \sum_{i = 1}^{C} (\sum_{t = 1}^{N} (x_{t}^{i} - μ_{i})) (μ_{i} - μ)^{T} = 0

$\sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i-\mu_i)(\mu_i-\mu)^T=\sum_{i=1}^C\left(\sum_{t=1}^N(x_t^i-\mu_i)\right)(\mu_i-\mu)^T=0$

і формула дотримується Ви маєте справу з другим терміном аналогічно.

— mpiktas
джерело

(+1) Другий член, переносячи перший, також повинен бути нульовим :-).

— whuber

@whuber, так, це теж :)

— mpiktas

Привіт, я не розумію, чому це припущення? Може хтось це пояснить?

— Mvkt

μ_{i}

$\mu_i$

μ_{i}

$\mu_i$

i

$i$

μ_{i}

$\mu_i$