Чому ( цензурується)

У наборі проблем я довів цю "лему", результат якої для мене не інтуїтивно зрозумілий. - це звичайний нормальний розподіл в цензурованій моделі. $Z$

Формально і . Тоді Отже, існує певний зв'язок між формулою очікування над усіченою областю та щільністю в точці усікання . Хтось може пояснити інтуїцію за цим? $Z^* \sim Norm(0, \sigma^2)$ $Z = max(Z^*, c)$

\begin{aligned} E [Z | Z > c] & = \int_{c}^{\infty} z_{i} ϕ (z_{i}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{c}^{\infty} z_{i} \exp (\frac{- 1}{2} z_{i}^{2}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (\frac{- 1}{2} c^{2}) (Integration by substitution) \\ = ϕ (c) \end{aligned}

$\begin{align} E[Z|Z>c] &= \int_c^\infty z_i \phi({z_i})\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_c^\infty z_i \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}z_i^2\bigg)\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}c^2\bigg) \quad\quad\quad\quad\text{ (Integration by substitution)}\\ &= \phi(c) \end{align}$

(c)

$(c)$

normal-distribution pdf intuition

— Гейзенберг
джерело

Це виявляється таким чином є наслідком того факту, що термін є негативним похідним терміна в експоненті; це один з багатьох акуратних результатів для звичайного нормального, але він не обов'язково має інтуїцію. З іншого боку, мене це зовсім не здивувало, якби хтось із розумних людей тут міг придумати якусь інтуїцію.

z

$z$

— Glen_b -Встановити Моніку

@Glen_b Що ти кажеш, що де - PDF будь-якого безперервного розповсюдження

\int_{c}^{\infty} (- \frac{d}{d z} \log (f (z))) f (z) d z = - \int_{c}^{\infty} f^{'} (z) d z = f (c)

$\int_c^\infty \left(-\frac{d}{dz}\log(f(z))\right) f(z) dz = -\int_c^\infty f^\prime(z)dz = f(c)$

f

$f$

F .

$F.$

— whuber

@whuber Це, безумовно, так, і варто підкреслити цей результат, оскільки він безпосередньо стосується результату у питанні, але насправді у своєму коментарі я мав на увазі конкретно випадок, коли перший із цих термінів є (оскільки термін " формула очікування "була в питанні, я

z

$z$

E (Z | Z > c)

$E(Z|Z>c)$

— вважав

(принаймні, до очевидних мультиплікативних констант, про те, що це умовне очікування). Однак для цього конкретного , ймовірно, варто обговорити у відповіді.

E (g (Z) | Z > c)

$E(g(Z)|Z>c)$

g = - \frac{d}{d z} l o g f

$g=-\frac{d}{dz}log f$

— Glen_b -Встановити Моніку

Ваша остання редакція вимагає підтвердження (або інтуїтивного пояснення) неправильного твердження. Умовна щільність обумовлено є і умовне очікуване значення таким чином є а не те, що є у вашому переглянутому заголовку.

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$

Z > c

$Z > c$

\frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} 1_{{z : z > c}}

$\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\mathbf 1_{\{z\colon z > c\}}$

E [Z ∣ Z > c] = \int_{c}^{\infty} z \frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} d z = \frac{1}{1 - Φ (c)} \int_{c}^{\infty} z ϕ (z) d z

$E[Z\mid Z > c] = \int_c^{\infty}z\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\,\mathrm dz = \frac{1}{1-\Phi(c)}\int_c^{\infty}z\phi(z)\,\mathrm dz$

— Діліп Сарват

Чи зможе фундаментальна теорема обчислення працювати для вас як інтуїція?

Нехай позначає функцію щільності стандартної нормальної випадкової величини. Тоді похідна - . Тоді фундаментальна теорема обчислення дає нам, що де другий інтеграл одержаний при заміні та з використанням того факту, що і третє, зазначивши, що $\phi(x)$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\phi(x) = -x\phi(x)$

ϕ (x) = \int_{- \infty}^{x} - t ϕ (t) d t = \int_{- x}^{\infty} u ϕ (u) d u = \int_{x}^{\infty} u ϕ (u) d u

$\phi(x) = \int_{-\infty}^x -t\phi(t)\,\mathrm dt = \int_{-x}^\infty u\phi(u)\,\mathrm du = \int_x^\infty u\phi(u)\,\mathrm du$

u = - t

$u = -t$

ϕ (- u) = ϕ (u)

$\phi(-u) = \phi(u)$

ϕ (- x) = ϕ (x)

$\phi(-x) = \phi(x)$ . Як варіант, запишіть другий інтеграл як інтеграл від до

- x

$-x$

+ x

$+x$ плюс інтеграл від до , і зауважте, що інтеграція непарної функції від

+ x

$+x$

\infty

$\infty$

- x

$-x$ до призводить до .

+ x

$+x$

0

$0$

— Діліп Сарват
джерело