Чи має диференціальна геометрія щось спільне зі статистикою?

Я займаюся майстром статистики і мені рекомендують вивчити диференційну геометрію. Мені було б щасливіше почути про статистичні програми для диференціальної геометрії, оскільки це зробило б мене мотивацією. Хтось знає програми для диференціальної геометрії в статистиці?

Дві канонічні книги на цю тему, з оглядами, потім ще два посилання:

• Диференціальна геометрія та статистика , МК Мюррей, Дж. В. Райс

  З часу введення Рао в 1945 р. Інформаційної метрики Фішера про сімейство розподілів ймовірностей серед статистиків виник інтерес до застосування диференціальної геометрії до статистики. Цей інтерес стрімко зростав за останні кілька десятиліть завдяки роботі великої кількості дослідників. До цих пір перешкодою для поширення цих ідей у ​​широкій спільноті статистиків є відсутність відповідного тексту, який запроваджує сучасний вільний координаційний підхід до диференціальної геометрії доступним для статистиків. Ця книга має на меті заповнити цю прогалину. Автори доводять до книги великий досвід досліджень диференціальної геометрії та її застосування до статистики. Книга починається з вивчення найпростіших диференціальних різновидів - афінних просторів та їх відповідності експоненціальним родинам і переходить у загальну теорію, метрику інформації Фішера, зв’язок Амарі та асимптотику. Кульмінацією цього є теорія векторних розшарувань, принципових розшарувань та струменів та їх застосування до теорії струн - тема, що є найважливішою темою дослідження статистики та диференціальної геометрії.

• Методи інформаційної геометрії , С.-І. Амарі, Х. Нагаока

  Інформаційна геометрія надає математичним наукам нові рамки аналізу. Він з'явився в результаті дослідження природної диференціальної геометричної структури на багатовидях розподілів ймовірностей, яка складається з риманової метрики, визначеної інформацією Фішера, та однопараметричного сімейства афінних зв'язків, званих -зв'язками. Подвійність між α -зв'язком та ( - α $\alpha$$\alpha$$(-\alpha)$-зв'язок разом із метрикою відіграють істотну роль у цій геометрії. Цей вид подвійності, що виникла з різновидів розподілу ймовірностей, є всюдисущим і виникає в різних проблемах, які можуть не мати явного відношення до теорії ймовірностей. За допомогою подвійності можна проаналізувати різні фундаментальні проблеми в єдиній перспективі. Перша половина цієї книги присвячена вичерпному ознайомленню з математичною основою геометрії інформації, включаючи попередні позначення з диференціальної геометрії, геометрію багатовидових чи розподілів ймовірностей та загальну теорію подвійних афінних зв’язків. Друга половина тексту дає огляд багатьох областей застосувань, таких як статистика, лінійні системи, теорія інформації, квантова механіка, опуклий аналіз, нейронні мережі, та афінної диференціальної геометрії. Книга може послужити підходящим текстом для тематичного курсу для старших студентів та аспірантів.

• Диференціальна геометрія в статистичному висновку , С.-І. Амарі, О.Є. Барндорф-Нільсен, РЕ Касс, С.Л. Лаурітцен і К.Р. Рао, IMS Лекційні записки. Сер. Том 10, 1987, 240 с.

• Роль диференціальної геометрії в статистичній теорії , О. О. Барндорф-Нільсен, Д. Р. Кокс та Н. Рейд, Міжнародний статистичний огляд / Revue Internationale de Statistique, Vol. 54, № 1 (квітня, 1986), стор 83-96

Риманова геометрія використовується при дослідженні випадкових полів (узагальнення стохастичних процесів), де процес не повинен бути нерухомим. Довідка, яку я вивчаю, наведена нижче з двома оглядами. Є програми в океанографії, астрофізиці та візуалізації мозку.

Випадкові поля та геометрія , Адлер, Дж. Дж., Тейлор, Джонатан Е.

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691

Відгуки:

$f$$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$$M$є римановими стратифікованими різновидами, і їх підхід має геометричний характер. Книга поділена на три частини. Частина I присвячена презентації необхідних інструментів гауссових процесів і полів. Частина II стисло розкриває необхідні передумови інтегральної та диференціальної геометрії. Нарешті, у частині III чітко встановлено ядро ​​книги, формула очікування характерної функції Ейлера екскурсійного набору та його наближення до розподілу максимумів поля. Книга написана в неофіційному стилі, що забезпечує дуже приємне читання. Кожна глава починається з викладу питань, які потрібно вирішити, а виноски, розміщені в усьому тексті, слугують незамінним доповненням і багато разів є історичними посиланнями.

"У цій книзі представлена ​​сучасна теорія ймовірностей екскурсії та геометрія екскурсійних наборів для ... випадкових полів, визначених на колекторах. ... Книга зрозуміла студентам ... з хорошим досвідом аналізу. ... Міждисциплінарна природа цієї книги , краса та глибина представленої математичної теорії роблять її невід'ємною частиною кожної математичної бібліотеки та книжкової полиці всіх імовірників, які цікавляться Гауссовими процесами, випадковими полями та їх статистичними додатками ". (Ілля Сергійович Молчанов, Zentralblatt MATH, том 1149, 2008)

Однією із областей статистики / прикладної математики, де диференціальна геометрія використовується істотно (разом з багатьма іншими областями математики!), Є теорія візерунків . Ви можете подивитися на книгу Ульфа Гренадера: https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc?ie=UTF8 або трохи доступніший текст автор Девід Мамфорд (володар медалі з поля не менше): https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd_i=156881579X&p_D_QR_TC_P_0C5_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0 ) _p_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0) = LIesY & psc = 1 & refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59

З передмови останнього тексту:

Термін "теорія візерунків" був введений Ульфом Гренандером, щоб відрізнити його підхід до аналізу візерункових структур у світі від "розпізнавання візерунків". У цій книзі ми використовуємо його в досить широкому розумінні для включення статистичних методів, що використовуються при аналізі всі "сигнали", що генеруються світом, будь то зображення, звуки, написаний текст, рядки ДНК або білка, шипове поїзда в нейронах або часовий ряд цін або погоди; приклади з усіх цих причин з’являються або в книзі Ґренандера «Елементи теорії візерунків» [94], або в роботі наших колег, співробітників та студентів з теорії візерунків.

Один із прикладів, коли використовується диференціальна геометрія, є моделями обличчя.

Намагаючись відповісти на запитання (у коментарях) @whuber, подивіться на розділ 16 книги Гренадера з назвою "Обчислювальна анатомія". Там колектори використовуються для представлення різних частин анатомії людини (як вогнище), а дифеоморфізми використовуються для представлення змін цих анатомічних колекторів, що дозволяє порівняти, моделювати ріст, моделювати дію якоїсь хвороби. Ці ідеї можна простежити в монументальному трактаті Д'Арсі Томпсона "Про ріст і форму" з 1917 року!

Гренадер продовжує цитувати цей трактат:

У дуже значній частині морфології наше основне завдання полягає в порівнянні споріднених форм, а не в точному визначенні кожної; і деформація складної фігури може бути явищем, легким для розуміння, хоча сама фігура може бути залишена неаналізованою та не визначеною. Цей процес порівняння, визнання в одній формі певної перестановки або деформації іншої, крім цілком точного та адекватного розуміння первісного "типу" або стандарту порівняння, лежить у безпосередній провінції математики і знаходить своє рішення в елементарне використання певного методу математика. Цей метод є Методом координат, на якому ґрунтується Теорія перетворень.

Найвідоміший приклад цієї ідеї - коли якась дитина зникла, скажімо, три роки тому, і одна публікує якусь фотографію свого обличчя, перетвореного (як правило, за допомогою шпонки), на те, що він може виглядати сьогодні.