Порівнюючи логістичні коефіцієнти на моделях з різними залежними змінними?

Це додаткове запитання від того, яке я задав пару днів тому . Я відчуваю, що це ставить інший нахил у питанні, тому перелічено нове питання.

Питання: чи можна порівняти величину коефіцієнтів у моделях з різними залежними змінними? Наприклад, на одній вибірці скажу, що я хочу знати, чи економіка є більш сильним прогнозувачем голосів у Палаті представників чи за президента. У цьому випадку моїми двома залежними змінними були б голосування в палаті (закодовано 1 за демократа і 0 - за республіканця) і проголосувати за президента (1 - за демократа і 0 - для республіканця), а моя незалежна змінна - економіка. Я очікую статистично значущого результату в обох офісах, але як я можу оцінити, чи має він «більший» ефект в одному більше, ніж в іншому? Це може бути не особливо цікавим прикладом, але мені цікаво, чи є спосіб порівняння. Я знаю, що не можна просто подивитися на "розмір" коефіцієнта. Так, чи можливо порівняння коефіцієнтів на моделях з різними залежними змінними? І якщо так, то як це зробити?

Якщо щось із цього не має сенсу, дайте мені знати. Всі поради та коментарі цінуються.

Коротка відповідь - "так, ви можете" - але вам слід порівняти максимальну оцінку ймовірності (MLEs) "великої моделі" з усіма співперемінними в будь-якій моделі, встановленій обом.

Це "квазіформальний" спосіб отримати теорію ймовірностей відповісти на ваше запитання

У прикладі і Y 2 - однотипні змінні (дроби / відсотки), тому вони порівнянні. Я буду припускати, що ви підходите до однієї і тієї ж моделі. Отже, у нас є дві моделі:$Y_{1}$$Y_{2}$

log ( p 1

$$M_{1}:Y_{1i}\sim Bin(n_{1i},p_{1i})$$ M2:Y2i∼Bin(n2i, $$log\left(\frac{p_{1i}}{1-p_{1i}}\right)=\alpha_{1}+\beta_{1}X_{i}$$ log ( p 2 $$M_{2}:Y_{2i}\sim Bin(n_{2i},p_{2i})$$ $$log\left(\frac{p_{2i}}{1-p_{2i}}\right)=\alpha_{2}+\beta_{2}X_{i}$$

Отже, у вас є гіпотеза, яку ви хочете оцінити:

$$H_{0}:\beta_{1}>\beta_{2}$$

І у вас є деякі дані , а також деяка попередня інформація (наприклад, використання логістичної моделі). Отже, ви обчислюєте ймовірність:$\{Y_{1i},Y_{2i},X_{i}\}_{i=1}^{n}$

$$P=Pr(H_0|\{Y_{1i},Y_{2i},X_{i}\}_{i=1}^{n},I)$$

$H_0$

$$P=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} Pr(H_0,\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2}|\{Y_{1i},Y_{2i},X_{i}\}_{i=1}^{n},I) d\alpha_{1}d\alpha_{2}d\beta_{1}d\beta_{2}$$

Гіпотеза просто обмежує діапазон інтеграції, тому ми маємо:

$$P=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{\beta_{2}}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} Pr(\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2}|\{Y_{1i},Y_{2i},X_{i}\}_{i=1}^{n},I) d\alpha_{1}d\alpha_{2}d\beta_{1}d\beta_{2}$$

Оскільки ймовірність обумовлена ​​даними, вона розбиватиметься на два окремих позитери для кожної моделі

$$Pr(\alpha_{1},\beta_{1}|\{Y_{1i},X_{i},Y_{2i}\}_{i=1}^{n},I)Pr(\alpha_{2},\beta_{2}|\{Y_{2i},X_{i},Y_{1i}\}_{i=1}^{n},I)$$

Now because there is no direct links between $Y_{1i}$ and $\alpha_{2},\beta_{2}$, only indirect links through $X_{i}$, which is known, it will drop out of the conditioning in the second posterior. same for $Y_{2i}$ in the first posterior.

From standard logistic regression theory, and assuming uniform prior probabilities, the posterior for the parameters is approximately bi-variate normal with mean equal to the MLEs, and variance equal to the information matrix, denoted by $V_{1}$ and $V_{2}$ - which do not depend on the parameters, only the MLEs. so you have straight-forward normal integrals with known variance matrix. $\alpha_{j}$ marginalises out with no contribution (as would any other "common variable") and we are left with the usual result (I can post the details of the derivation if you want, but its pretty "standard" stuff):

$$P=\Phi\left(\frac{\hat{\beta}_{2,MLE}-\hat{\beta}_{1,MLE}}{\sqrt{V_{1:\beta,\beta}+V_{2:\beta,\beta}}}\right)$$

Where $\Phi()$ is just the standard normal CDF. This is the usual comparison of normal means test. But note that this approach requires the use of the same set of regression variables in each. In the multivariate case with many predictors, if you have different regression variables, the integrals will become effectively equal to the above test, but from the MLEs of the two betas from the "big model" which includes all covariates from both models.

Why not? The models are estimating how much 1 unit of change in any model predictor will influence the probability of "1" for the outcome variable. I'll assume the models are the same-- that they have the same predictors in them. The most informative way to compare the relative magnitudes of any given predictor in the 2 models is to use the models to calculate (either deterministically or better by simulation) how much some meaningful increment of change (e.g., +/- 1 SD) in the predictor affects the probabilities of the respective outcome variables--& compare them! You'll want to determine confidence intervals for the two estimates as well as so you can satisfy yourself that the difference is "significant," practically & statistically.

I assume that by "my independent variable is the economy" you're using shorthand for some specific predictor.

At one level, I see nothing wrong with making a statement such as

X predicts Y1 with an odds ratio of _ and a 95% confidence interval of [ _ , _ ] while X predicts Y2 with an odds ratio of _ and a 95% confidence interval of [ _ , _ ].

@dmk38's recent suggestions look very helpful in this regard.

You might also want to standardize the coefficients to facilitate comparison.

At another level, beware of taking inferential statistics (standard errors, p-values, CIs) literally when your sample constitutes a nonrandom sample of the population of years to which you might want to generalize.

Let us say the interest lies in comparing two groups of people: those with $X_{1} = 1$ and those with $X_{1} = 0$.

The exponential of $\beta_{1}$, the corresponding coefficient, is interpreted as the ratio of the odds of success for those with $X_{1} = 1$ over the odds of success for those with $X_{1} = 0$, conditional on the other variables in the model.

So, if you have two models with different dependend variables then the interpretation of $\beta_{1}$ changes since it is not conditioned upon the same set of variables. As a consequence, the comparison is not direct...