Розподіл відношення залежних випадкових величин чи-квадрата

Припустимо, що $X = X_1 + X_2+\cdots+ X_n$ де незалежні. $X_i \sim N(0,\sigma^2)$

Моє запитання - чим займається розподіл

Z = \frac{X^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$Z = \frac{X^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

слідувати? Я знаю звідси, що співвідношення двох випадкових змінних c-квадрата, виражене як слід за розподілом Beta. Я думаю , що це передбачає незалежність між і . У моєму випадку, знаменник містить компоненти квадраті. $\frac{W}{W + Y}$ $W$ $Y$ $Z$ $X$

Я думаю, що також повинен слідувати варіації розподілу Beta, але я не впевнений. І якщо це припущення правильне, я не знаю, як це довести. $Z$

— x0dros
джерело

Оскільки розподіл знаменника є інваріантним при обертаннях, ви можете повернути до рівня , що зводить ваше запитання до чогось звичного :-).

X

$X$

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt{n}X_1$

— whuber

Я впевнений, що @whuber означає саме те, що там було введено. Коли ви говорите «номінатор», ви маєте на увазі «числівник»?

— Glen_b -Встановіть Моніку

Коли ви обертаєте що-небудь, ви (за визначенням) зберігаєте його довжину. Тому дисперсія будь-якої повернутої версії повинна дорівнювати дисперсії , яка дорівнює : звідси походить термін.

X

$X$

X

$X$

1 + 1 + \dots + 1 = n

$1+1+\cdots+1=n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— whuber

@whuber Ваша відповідь справді здається дуже цікавою, але у мене є сумніви щодо цього. Коли ви говорите, що я можу повернути щоб стати рівним , це в основному означає, що я можу переписати чисельник як і, отже, сам перетворюється на . Тепер, якщо я припускаю, що і і оскільки і незалежні, я можу припустити, що має a

X

$X$

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt nX_1$

Z

$Z$

n X_{1}^{2}

$nX_1^2$

Z

$Z$

n \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$n\frac{X_1^2}{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2}$

W = X_{1}^{2}

$W=X_1^2$

Y = X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

$Y=X_2^2+\cdots+X_n^2$

W

$W$

Y

$Y$

Z = n \frac{W}{W + Y}

$Z=n\frac{W}{W+Y}$

β

$\beta$ розповсюдження тощо. Чи я досі розуміюсь? Отже, ось моя плутанина. Перш ніж використовувати концепцію обертальної інваріантності та модифікації

— сса

@ssah Ви помиляєтесь у застосуванні моїх міркувань: без

у знаменнику його розподіл вже не є інваріантним довільним обертанням

і тому висновки більше не вірні.

X_{1}^{2}

$X_1^2$

(X_{1}, \dots, X_{n}),

$(X_1,\ldots, X_n),$

— whuber

Ця публікація детально описує відповіді в коментарях до питання.

Нехай . Зафіксуйте будь-яку одиничної довжини. Такий вектор завжди може бути завершений на ортонормальній основі (наприклад, за допомогою процесу Грам-Шмідта ). Ця зміна основи (зі звичайної) є ортогональною: вона не змінює довжини. Таким чином розподіл $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\mathbf{e}_1\in\mathbb{R}^n$ $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$

\frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{| | X | |^{2}} = \frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{||X||^2}=\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

не залежить від . Якщо взяти видно, що цей розподіл має таке ж, як і $\mathbf{e}_1$ $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\ldots, 0)$

\begin{matrix} (1) & \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}} . \end{matrix}

$\frac{X_1^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}.\tag{1}$

Так як являюсь IID Normal, то вони можуть бути записані в вигляді рази IID стандартних нормальних змінних і їх квадрати рази розподілів. Так як сума незалежного розподілу є $X_i$ $\sigma$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $\sigma^2$ $\Gamma(1/2)$ $n-1$ $\Gamma(1/2)$ $\Gamma((n-1)/2)$ , ми визначили, що розподіл є розподілом $(1)$

\frac{σ^{2} U}{σ^{2} U + σ^{2} V} = \frac{U}{U + V}

$\frac{\sigma^2 U}{\sigma^2 U + \sigma^2 V} = \frac{U}{U+V}$

де і $U = X_1^2/\sigma^2 \sim \Gamma(1/2)$ є незалежними. Цедобре відомощо це відношення має Beta $V = (X_2^2 + \cdots + X_n^2)/\sigma^2 \sim \Gamma((n-1)/2)$ розподіл. (Також дивіться тісно пов'язані нитки прирозподілі якщо Beta і chi-квадрат з градусами.) $(1/2, (n-1)/2)$ $XY$ $X \sim$ $(1,K-1)$ $Y \sim$ $2K$

Оскільки

X_{1} + \dots + X_{n} = (1, 1, \dots, 1) \cdot (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) = \sqrt{n} e_{1} \cdot X

$X_1 + \cdots + X_n = (1,1,\ldots,1)\cdot (X_1, X_2, \cdots, X_n) = \sqrt{n}\,\mathbf{e}_1\cdot X$

для одиничного вектора , робимо висновок, щоє $\mathbf{e}_1=(1,1,\ldots,1)/\sqrt{n}$ $Z$ разів більше Beta $(\sqrt{n})^2 = n$ варіювати. $(1/2, (n-1)/2)$ Тому длявін має функцію щільності $n\ge 2$

f_{Z} (z) = \frac{n^{1 - n / 2}}{B (\frac{1}{2}, \frac{n - 1}{2})} \sqrt{\frac{(n - z)^{n - 3}}{z}}

$f_Z(z) = \frac{n^{1-n/2}}{B\left(\frac{1}{2}, \frac{n-1}{2}\right)} \sqrt{\frac{(n-z)^{n-3}}{z}}$

на інтервалі (інакше дорівнює нулю). $(0,n)$

В якості перевірки, я імітованих незалежних реалізацій для $100,000$ $Z$ і , завданих їх гістограм і накладають на графіку відповідної щільності бети (червоний колір). Угоди відмінні. $\sigma=1$ $n=2,3,10$

Ось Rкод. Він здійснює моделювання за формулою sum(x)^2 / sum(x^2)для , де вектор довжини, породжений . Решта - це просто циклічне ( , ) та побудова графіків ( , ). $Z$ xnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— дзижчати
джерело