Загальний метод отримання стандартної помилки

Я, здається, не можу ніде знайти загальний метод отримання стандартних помилок. Я переглянув google, цей веб-сайт і навіть підручники, але все, що я можу знайти, - це формула стандартних помилок для середнього значення, дисперсії, пропорції, співвідношення ризиків тощо ..., а не те, як ці формули були отримані.

Якщо будь-який орган міг би пояснити це простими словами або навіть зв’язати мене з хорошим ресурсом, який пояснює це, я буду вдячний.

standard-error

— Даніель Гардінер
джерело

Я надаю загальну просту модель і застосовую її, з усіма деталями розробленими, у публікації на сайті stats.stackexchange.com/a/18609/919 . Цю та багато інших публікацій про стандартні помилки (майже тисячу на сьогоднішній день) можна знайти,

— пошукаючи

Що ви хочете знайти, це стандартне відхилення розподілу вибірки середнього. Тобто, простою англійською мовою розподіл вибірки - це коли вибираєте елементів із своєї сукупності, додаєте їх разом і ділите суму на . Ми ніж знаходимо дисперсію цієї величини і отримуємо стандартне відхилення, беручи квадратний корінь його дисперсії. $n$ $n$

Отже, нехай вибрані вами елементи представляються випадковими змінними , кожна з них однаково розподілена з дисперсією . Вони незалежно відбираються, тому дисперсія суми є лише сумою дисперсій. $X_i, 1\le i \le n$ $\sigma^2$

Var (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} Var (X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} σ^{2} = n σ^{2}

$\text{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n\text{Var}\left(X_i\right) = \sum_{i=1}^n\sigma^2 = n\sigma^2$

Далі ділимо на . Ми загалом знаємо, що , тому ставимо нас $n$ $\text{Var}(kY)=k^2 \text{Var}(Y)$ $k=1/n$

Var (\frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}}{n}) = \frac{1}{n^{2}} Var (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \frac{1}{n^{2}} n σ^{2} = \frac{σ^{2}}{n}

$\text{Var}\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \text{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$

Нарешті візьміть квадратний корінь, щоб отримати стандартне відхилення . Якщо стандартне відхилення сукупності недоступне, стандартне відхилення вибірки використовується як оцінка, даючи . $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ $s$ $\dfrac{s}{\sqrt{n}}$

Все вищесказане справедливо незалежно від розподілу s, але виникає питання, що ви насправді хочете зробити зі стандартною помилкою? Зазвичай ви можете побудувати довірчі інтервали, і тоді важливо призначити ймовірність побудови довірчого інтервалу, який містить середнє значення. $X_i$

Якщо ваші s звичайно розподіляються, це легко, оскільки тоді розподіл вибірки також зазвичай розподіляється. Можна сказати, що 68% вибірок середнього значення буде лежати в межах 1 стандартної помилки від істинного середнього, 95% - у межах 2 стандартних помилок тощо. $X_i$

Якщо у вас є достатньо великий вибірки (або менший зразок і s не надто аномальні), ви можете посилатися на теорему про центральний межа і сказати, що розподіл вибірки приблизно нормально розподілений, і ваші твердження про ймовірність також приблизні. $X_i$

Справа в оцінці пропорції , де ви черпаєте по елементів з розподілу Bernouilli. Варіантність кожного розподілу дорівнює а отже, стандартна помилка - (пропорція оцінюється за допомогою даних). Потім переходимо до того, що приблизно якийсь відсоток зразків знаходиться в межах стільки стандартних відхилень середнього значення, вам потрібно зрозуміти, коли розподіл вибірки приблизно нормальний. Багаторазово вибірки з розподілу Бернуллі є таким же , як вибірка з розподілу біноміального, і один загальне правило полягає в тому , щоб апроксимувати тільки тоді , коли і є $p$ $n$ $X_i$ $p(1-p)$ $\sqrt{p(1-p)/n}$ $p$ $np$ $n(1-p)$ $\ge5$ . (Див. Вікіпедію для більш поглибленої дискусії про наближення двочлена до нормальної. Дивіться тут спрацьований приклад стандартних помилок із пропорцією.)

Якщо, з іншого боку, ваш розподіл вибірки не може бути наближений нормальним розподілом, то стандартна помилка набагато менш корисна. Наприклад, при дуже перекошеному асиметричному розподілі ви не можете сказати, що той самий% вибірок буде стандартним відхиленням будь-якої сторони від середнього, і ви, можливо, захочете знайти інший спосіб асоціювання ймовірностей із зразками. $\pm1$

— TooTone
джерело

Дякую, такий підхід має сенс, і я бачу, як він застосовується до середнього, але я не бачу, як його поширити на інші статистичні дані. Наприклад, як я можу знайти стандартну помилку ставки? чи коефіцієнт ставки?

— Даніель Гардінер

Я оновив свою публікацію. Ключовим моментом є те, що такі величини, як середнє значення, дисперсія тощо - а отже, і більш жорсткі - можна знайти для будь-якого розподілу. Але для того, щоб робити твердження про ймовірність, потрібно знати щось про розподіл, будь то нормальне, двочленове чи будь-яке інше. Так що stderr завжди можна знайти, але наскільки це корисно, залежить від ситуації.

— TooTone

v a r (X_{i}) = σ^{2}

$var(X_i) = \sigma^2$

s^{2}

$s^2$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

s^{2}

$s^2$

s^{2}

$s^2$

X_{i}

$X_i$

s^{2}

$s^2$

— TooTone

Стандартна помилка - це стандартне відхилення статистики (під нульовою гіпотезою, якщо ви тестуєте). Загальним методом пошуку стандартної помилки було б спочатку знайти функцію розподілу чи генерації моменту вашої статистики, знайти другий центральний момент та взяти квадратний корінь.

$\mu$ $\sigma^2$ $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ $\mu$ $\sigma^2/n$

Сума незалежних випадкових величин є нормальною,
$\mathrm{E}\left[\sum_{i=1}^{n} a_i X_i\right] = \sum_{i=1}^{n} a_i \mathrm{E}\left[ X_i \right]$
$X_1$ $X_2$ $\mathrm{Var}\left(a_1 X_1 + a_2 X_2 \right) = a_1^2 \mathrm{Var}\left(X_1\right) + a_2^2 \mathrm{Var}\left( X_2 \right)$

$\sigma/\sqrt{n}$

Є ярлики, начебто вам не обов’язково потрібно знаходити розподіл статистики, але я думаю, що концептуально корисно мати розподіли в задній частині розуму, якщо ви знаєте їх.

— П Шнелл
джерело