Чому стандартна помилка перехоплення ще більше збільшується від 0?

Стандартна помилка терміна перехоплення ( ) у задається , де є середнє значення 's. $\hat{\beta}_0$ $y=\beta_1x+\beta_0+\varepsilon$

S E ({\hat{β}}_{0})^{2} = σ^{2} [\frac{1}{n} + \frac{{\bar{x}}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}]

$SE(\hat{\beta}_0)^2 = \sigma^2\left[\frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^2}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}\right]$

\bar{x}

$\bar{x}$

x_{i}

$x_i$

Як я розумію, SE визначає вашу невизначеність - наприклад, у 95% зразків інтервал міститиме справжній . Я не розумію, як SE, міра невизначеності, збільшується за допомогою . Якщо я просто зміщу свої дані, щоб , моя невизначеність знижується? Це здається нерозумним. $[\hat{\beta}_0-2SE,\hat{\beta}_0+2SE]$ $\beta_0$ $\bar{x}$ $\bar{x}=0$

Аналогічна інтерпретація - у безцентризованій версії моїх даних відповідає моєму прогнозуванню при , тоді як у центрованих даних відповідає моєму прогнозуванню при . То чи означає це тоді, що моя невизначеність щодо мого передбачення при більша, ніж моя невизначеність щодо мого передбачення на ? Це теж здається нерозумним, помилка має однакову дисперсію для всіх значень , тому моя невизначеність у моїх прогнозованих значеннях повинна бути однаковою для всіх . $\hat{\beta}_0$ $x=0$ $\hat{\beta}_0$ $x=\bar{x}$ $x=0$ $x=\bar{x}$ $\epsilon$ $x$ $x$

У моєму розумінні є прогалини, я впевнений. Може хтось допоможе мені зрозуміти, що відбувається?

regression interpretation standard-error

— елексобі
джерело

Ви коли-небудь регресували проти побачення? Багато комп'ютерні системи починають свої дати в далекому минулому, часто понад 100 чи більше 2000 років тому. Перехоплення оцінює значення ваших даних, екстрапольованих назад до цього часу початку. Наскільки ви впевнені, скажімо, валовий внутрішній продукт Іраку в 0 році нашої ери на основі регресу низки даних 21 століття?

— whuber

Я згоден, це має сенс, якщо ви думаєте про це таким чином. Це та відповідь Гунґа дають зрозуміти.

— elexhobby

Ця відповідь дає інтуїтивне пояснення із діаграмами) як вона виникає, переводячи приталену лінію з точки зору придатності на середнє значення ( придатна лінія проходить через ) і показує, чому положення, куди може йти лінія, поширюється, коли ви відходите від (що викликано невизначеністю у схилі).

\bar{x}

$\bar x$

(\bar{x}, \bar{y})

$(\bar x,\bar y)$

\bar{x}

$\bar x$

— Glen_b -Встановіть Моніку

Оскільки лінія регресії, що відповідає звичайним найменшим квадратам, обов'язково пройде через середнє значення ваших даних (тобто ) - принаймні до тих пір, поки ви не придушите перехоплення - невизначеність щодо справжнього значення нахилу не впливає на вертикальне положення лінії при середньому значенні (тобто при ). Це перетворюється на менш вертикальну невизначеність на ніж у вас далі, ніж ви знаходитесь. Якщо перехоплення, де є , то це мінімуму вашу невизначеність щодо справжнього значення $(\bar x, \bar y)$ $x$ $\hat y_{\bar x}$ $\bar x$ $\bar x$ $x=0$ $\bar x$ $\beta_0$ . У математичному плані це означає найменше можливе значення стандартної помилки для . $\hat\beta_0$

Ось короткий приклад у R:

set.seed(1)                           # this makes the example exactly reproducible
x0      = rnorm(20, mean=0, sd=1)     # the mean of x varies from 0 to 10
x5      = rnorm(20, mean=5, sd=1)
x10     = rnorm(20, mean=10, sd=1)
y0      = 5 + 1*x0  + rnorm(20)       # all data come from the same  
y5      = 5 + 1*x5  + rnorm(20)       #  data generating process
y10     = 5 + 1*x10 + rnorm(20)
model0  = lm(y0~x0)                   # all models are fit the same way
model5  = lm(y5~x5)
model10 = lm(y10~x10)

введіть тут опис зображення

Ця цифра трохи зайнята, але ви можете побачити дані кількох різних досліджень, де розподіл було ближче чи далі від . Схили трохи відрізняються від вивчення до вивчення, але значною мірою схожі. (Зауважте, всі вони проходять через обведений X, який я використовував для позначення .) Тим не менш, невизначеність щодо справжнього значення цих схилів викликає невизначеність щодо розширитись далі, від чого ви отримаєте , що означає, що дуже широкий для даних, відібраних у сусідні області , і дуже вузький для дослідження, в якому дані були відібрані у вибірці поблизу . $x$ $0$ $(\bar x, \bar y)$ $\hat y$ $\bar x$ $SE(\hat\beta_0)$ $x=10$ $x=0$

Редагувати у відповідь на коментар: На жаль, центрування дані після того, як ви їх не допоможе вам , якщо ви хочете знати , ймовірно значення при деякому значення . Натомість вам потрібно зосереджувати свою колекцію даних у першу чергу на точці, яка вас хвилює. Щоб зрозуміти ці питання більш повно, можливо, вам допоможе прочитати мою відповідь тут: Інтервал лінійного прогнозування регресії . $y$ $x$ $x_\text{new}$

— gung - Відновити Моніку
джерело

Отже, дозвольмо сказати, чомусь мене найбільше цікавить прогнозування значення . Наведене вище пояснення означає, що я не повинен зосереджувати свої дані (тобто зсув так, що ), а замість цього переміщувати так, що . Це правильно?

x = x^{'}

$x=x'$

x

$x$

\bar{x} = 0

$\bar{x}=0$

\bar{x} = x^{'}

$\bar{x}=x'$

— elexhobby

Загальна формула має в чисельнику замість : зміщення не потрібно.

(x^{'} - \bar{x})^{2}

$(x^\prime - \bar{x})^2$

{\bar{x}}^{2}

$\bar{x}^2$

— whuber

@elexhobby, я додав трохи інформації, щоб відповісти на ваш коментар, можливо, ви також хочете переглянути пов'язаний матеріал. Дайте мені знати, якщо вам все-таки потрібно більше.

— gung - Відновіть Моніку

Ось як я розумію - я читав в іншому місці, що . Тепер похибка передбачуваного значення при через цю невизначеність у схилі дорівнює . Крім того, похибка через невизначеність у вертикальному положенні лінії є . Об’єднайте їх разом, і ми отримаємо невизначеність у передбачуваному значенні через невизначеність у і є . Виправте мене, якщо я помиляюся.

S E ({\hat{β}}_{1}) = \frac{σ^{2}}{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}

$SE(\hat{\beta}_1)=\frac{\sigma^2}{\sum(x_i-\bar{x})^2}$

x_{n e w}

$x_{new}$

S E ({\hat{β}}_{1}) (x_{n e w} - \bar{x})^{2}

$SE(\hat{\beta}_1)(x_{new}-\bar{x})^2$

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

{\hat{β}}_{1}

$\hat{\beta}_1$

{\hat{β}}_{0}

$\hat{\beta}_0$

\frac{σ^{2}}{n} + \frac{σ^{2} (x_{n e w} - \bar{x})^{2}}{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}

$\frac{\sigma^2}{n}+\frac{\sigma^2(x_{new}-\bar{x})^2}{\sum(x_i-\bar{x})^2}$

— elexhobby

Крім того, зрозуміло, чому помилка у вертикальному положенні дорівнює - ми знаємо, що лінія повинна проходити через у . Тепер містить середнє значення помилок iid, а значить, SE буде дорівнює . Оце Так! Дуже дякую за вашу діаграму та чітке пояснення, я дуже вдячний.

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

\bar{y}

$\bar{y}$

x = \bar{x}

$x=\bar{x}$

\bar{y}

$\bar{y}$

n

$n$

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

— elexhobby