Яка ймовірність, що з 25 випадкових чисел від 1 до 100 найвищі з’являються більше одного разу?

У багатьох онлайн-іграх, коли гравці виконують складне завдання, іноді надається спеціальна нагорода, яку можуть використовувати всі, хто виконав завдання. зазвичай це кріплення (спосіб транспортування) або інший предмет суєти (елементи, які не покращують продуктивність персонажа і в основному використовуються для налаштування зовнішності).

Коли така нагорода вручається, найпоширеніший спосіб визначення того, хто отримує нагороду, - через випадкові числа. У грі зазвичай є спеціальна команда, яка генерує випадкове (ймовірно, псевдовипадкове, не криптозахищене випадкове) число між 1 і 100 (іноді гравець може вибрати інший спред, але 100 є найбільш поширеним). Кожен гравець використовує цю команду, всі гравці можуть бачити, хто що прокатував, а предмет присуджується тому, хто котиться найвищим. У більшості ігор навіть є вбудована система, де гравці просто натискають кнопку, і як тільки кожен натискає свою кнопку, гра робить все автоматично.

Іноді деякі гравці генерують стільки ж великої кількості, і ніхто їх не б’є. це, як правило, вирішується тими гравцями, що відновлюють свою кількість, поки не буде унікальне найбільше число.

Моє запитання таке: Припустимо генератор випадкових чисел, який може генерувати будь-яке число від 1 до 100 з однаковою ймовірністю. Припустимо, що у вас є група з 25 гравців, кожен з яких генерує 1 число з таким генератором випадкових чисел (кожен зі своїм власним насінням). У вас буде 25 чисел від 1 до 100, без обмежень на те, скільки гравців перекочують певний нумедер і ніякого відношення між числами. Який шанс, що найбільше число генерується більш ніж одним гравцем? Іншими словами, яка ймовірність розіграшу?

Дозволяє

• x = $x$ - верхній кінець вашого діапазону, у вашому випадку.$x=100$
• n = $n$ - загальна кількість нічиїх, у вашому випадку.$n=25$

Для будь-якого числа кількість послідовностей чисел з кожним числом у послідовності є . З цієї послідовності число, що не містить s, дорівнює , а число, що містить один є . Звідси кількість послідовностей з двома або більше s дорівнює Загальна кількість послідовностей чисел з найбільшою кількістю що містять у принаймні два s є n ≤ y y n y ( y - 1 ) n y n ( y - 1 ) n - 1 y y n - ( y - 1 ) n - n ( y - 1 ) n - 1 n y y x ∑ y = 1 ( y n - ( y - $y\le x$$n$$\le y$$y^n$$y$$(y-1)^n$$y$$n(y-1)^{n-1}$$y$

$$y^n - (y-1)^n - n(y-1)^{n-1}$$ $n$$y$$y$ $$\begin{align} \sum_{y=1}^x \left(y^n - (y-1)^n - n(y-1)^{n-1}\right) &= \sum_{y=1}^x y^n - \sum_{y=1}^x(y-1)^n - \sum_{y=1}^xn(y-1)^{n-1}\\ &= x^n - n\sum_{y=1}^x(y-1)^{n-1}\\ &= x^n - n\sum_{y=1}^{x-1}y^{n-1}\\ \end{align}$$

Загальна кількість послідовностей просто . Усі послідовності однаково вірогідні, тому ймовірність є $x^n$

$$\frac{x^n - n\sum_{y=1}^{y=x-1}y^{n-1}}{x^n}$$

З я складаю ймовірність 0.120004212454.$x=100,n=25$

Я перевірив це за допомогою наступної програми Python, яка підраховує послідовності, які відповідають вручну (для низьких ), моделює та обчислює за вищенаведеною формулою.$x,n$

import itertools
import numpy.random as np

def countinlist(x, n):
    count = 0
    total = 0
    for perm in itertools.product(range(1, x+1), repeat=n):
        total += 1
        if perm.count(max(perm)) > 1:
            count += 1

    print "Counting: x", x, "n", n, "total", total, "count", count

def simulate(x,n,N):
    count = 0
    for i in range(N):
        perm = np.randint(x, size=n)
        m = max(perm)
        if sum(perm==m) > 1:
            count += 1
    print "Simulation: x", x, "n", n, "total", N, "count", count, "prob", count/float(N)

x=100
n=25
N = 1000000 # number of trials in simulation

#countinlist(x,n) # only call this for reasonably small x and n!!!!
simulate(x,n,N)
formula = x**n - n*sum([i**(n-1) for i in range(x)])
print "Formula count", formula, "out of", x**n, "probability", float(formula) / x**n

Ця програма вийшла

Simulation: x 100 n 25 total 1000000 count 120071 prob 0.120071
Formula count 12000421245360277498241319178764675560017783666750 out of 100000000000000000000000000000000000000000000000000 probability 0.120004212454

Я б розглядав можливість виявити першочергового переможця

$x$$\frac{{25\choose1} (x-1)^{24}}{{100}^{25} }$$y-1$

Переможець може виграти, його кількість дорівнює 2 до 100, тому загальна ймовірність

$$\begin{align} &\sum_{i=2}^{100} \frac {25(i-1)^{24}}{{100}^{25}}\\ =& 25\sum_{i=1}^{99} \frac{i^{24}}{{100}^{25}}\\ =& -{1 \over 4}+25\sum_{i=1}^{100} \frac{i^{24}}{{100}^{25}}\\\approx&-{1 \over 4}+25 {{1\over24+1}{100}^{24+1}+{{1\over2}{100}^{24}+{{{24\over2} {1\over6}}{100}^{23} }}\over{100}^{25}}\\ =&0.88 \end{align}$$

Тут я використав наближення до Для довідки: https://en.wikipedia.org/wiki/ s_formula Фаульхабера$100^{23}$

Звідси ймовірність мати краватку$1-0.88=0.12$

Здається, дуже схоже питання на парадокс Дня народження ( http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem ), різниця полягає лише в тому, що в цьому випадку ви не хочете співставляти жодне число, а лише найбільше число. На першому етапі обчислення обчислюють ймовірність того, що не випадкові числа перетинаються ( ). (Див посилання вище) , а потім ймовірність того, що деякі з 25 номерів з перекриттям , де р є ймовірність ви вже вирахували. У цьому випадку ймовірність того, що 25 чисел не збігаються з максимумом, задається: тоді ймовірність, яку ви шукаєте,$p$$1-p$$p=1*(1-1/100)*(1-1/100)......*(1-1/10)=(1-1/100)^{24}$$P=1-p=1-(1-1/100)^{24} = 0.214$