Конвергенція в розподілі \ CLT

Враховуючи, що , умовний дістр. з є . має граничний дистриб. Пуассона ( ), - позитивна константа. $N = n$ $Y$ $\chi ^2(2n)$ $N$ $\theta$ $\theta$

Покажіть, що як , у розподілі. $\theta \rightarrow \infty$ $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$

Хтось може запропонувати стратегії для вирішення цього питання. Здається, нам потрібно використовувати CLT (центральна гранична теорема), але здається, що важко отримати будь-яку інформацію про самостійно. Чи є введення rv, яке можна взяти для вибірки, щоб генерувати ? $Y$ $Y$

Це домашнє завдання, настільки високо оцінене натяками .

— користувач42102
джерело

Мені здається, що це теж справа. Можливо, це вже очевидно для вас, але як theta-> Нескінченність, що відбувається з N?

— PeterR

Чи слід дивитись на розподіл N? Якщо я пограю з цим, схоже, що його pdf завжди буде 0. Що я можу зробити з цього?

— користувач42102

що означає середня випадкова величина Пуассона (тета)?

— PeterR

Я змішав N у цьому запитанні та розмір вибірки n у визначенні CLT. Отже . Отже ми бачимо, що очікуване значення N наближається до нескінченності. Я не впевнений, куди йти звідси, хоча.

E (N) = θ

$E(N) = \theta$

— користувач42102

Ви повинні вивчити не центральний розподіл чі в квадраті. Доведення межі є звичайним буде складнішим, ніж просте застосування CLT, хоча я боюся.

— caburke

Відповіді:

Я пропоную рішення на основі властивостей характерних функцій, які визначаються наступним чином

ψ_{Х} (т) = Е досвід (i т Х) .

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$ Ми знаємо, що розподіл однозначно визначається характерною функцією, тому я докажу це

ψ_{(Y - Е Y) / \sqrt{V а r (Y)}} \to ψ_{N (0, 1)} (т), коли θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$ і з цього випливає бажане зближення.

Для цього мені потрібно буде обчислити середнє значення та дисперсію $Y$ , для якого я використовую закон загальних очікувань / дисперсії - http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation .

E Y = E {E (Y | N)} = E {2 N} = 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

V a r (Y) = E {V a r (Y | N)} + V a r {E (Y | N)} = E {4 N} + V a r (2 N) = 4 θ + 4 V a r (N) = 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$ Я використав, що середня величина та дисперсія розподілу Пуассона є

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$ і середнє значення, і дисперсія

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$ є

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$ і

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$ . Тепер приходить обчислення з характерними функціями. Спочатку я переписую визначення

Y

$Y$ як

Y = \sum_{н = 1}^{\infty} Z_{2 н} Я_{[N = н]}, де Z_{2 н} \sim χ_{2 н}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$ Зараз я використовую теорему, яка стверджує

ψ_{Y} (т) = \sum_{н = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 н} (т)} П (N = н)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$ Характерна функція

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$ є

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$ , що взято звідси: http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)

Тож тепер обчислимо характерну функцію для $Y$ використання розширення Тейлора для $\exp(x)$

ψ_{Y} (т) = \sum_{н = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 н} (т)} П (N = н) = \sum_{н = 1}^{\infty} (1 - 2 i т)^{- н} \frac{θ^{н}}{н!} досвід (- θ) = \sum_{н = 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 - 2 i т)})}^{н} \frac{1}{н!} досвід (- θ) = досвід (\frac{θ}{1 - 2 i т}) досвід (- θ) = досвід (\frac{2 i т θ}{1 - 2 i т})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$ В кінці ми використовуємо властивості характерних функцій

ψ_{(Y - Е Y) / \sqrt{V а r (Y)}} (т) = досвід (- i \frac{Е Y}{\sqrt{V а r Y}}) ψ_{Y} (т / \sqrt{V а r Y}) = досвід (- \frac{т^{2}}{2}) досвід (- 1 + 2 i \frac{т}{\sqrt{8 θ}}) \to досвід (- \frac{т^{2}}{2}) = ψ_{N (0, 1)} (т), коли θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$ Я перестрибнув через обчислення, тому що воно зараз занадто тривале ...

— Фімба
джерело

Це можна показати через відношення до нецентрального розподіленого розподілу. Є гарна стаття з вікіпедії, на яку я посилаюсь вільно! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

Ви це дали $Y|N=n$ розподіляється чіскартом с $2 n$ ступенів свободи, за $n=0,1,\dots, \infty$ . Ось $N$ має розподіл Пуассона з очікуванням $\theta$ .

Тоді ми маємо, що функція густини $Y$ (безумовно) можна записати, використовуючи закон повної ймовірності, як

f_{Y} (у; 0, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{е^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i}} (у)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$ Яка майже щільність нецентральної зміщеної змінної, крім параметра ступеня свободи

k = 0

$k=0$ , що дійсно не визначено. (це наведено у розділі визначення статті вікіпедії).

Отже, щоб отримати щось чітко визначене, ми замінюємо вищевказану формулу

f_{Y} (у; к, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{е^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i + к}} (у)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$ яка є щільністю нецентральної вирівняної змінної с

k

$k$ ступінь параметра свободи та нецентральності

2 θ

$2\theta$ . Отже, в нашому аналізі ми маємо пам’ятати, щоб прийняти межу, коли

k \to 0

$k \rightarrow 0$ після взяття ліміту

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$ . Це непроблемно, бо в межі

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$ ймовірність

N = 0

$N=0$ переходить до нуля, тому точкова маса в нулі зникає (чісова квадратна змінна з нульовими градусами свободи повинна інтерпретуватися як точковамаса при нулі, тому не мають функції щільності).

Тепер для кожного фіксованого $k$ , використовуйте результат у вікі, розподілах, пов'язаних з розділами, нормальних наближеннях, що дає шуканий стандартний нормальний межа для кожного $k$ . Тоді візьміть обмеження, коли $k$ переходить до нуля, що дає результат.

— kjetil b halvorsen
джерело