Чому геометричний розподіл і гіпергеометричний розподіл називаються такими?

Чому геометричний розподіл та гіпергеометричний розподіл називають відповідно "геометричним" та "гіпергометричним"?

Це тому, що їхні PMFS мають якусь особливу форму? Спасибі!

distributions terminology history

— Тім
джерело

Так, терміни відносяться до функцій маси ймовірностей (pmfs).

2500 років тому Евклід (у книгах VIII та IV його Елементів ) вивчав послідовності довжин, що мають загальні пропорції. . У якийсь момент такі послідовності стали називати "геометричними прогресіями" (хоча термін "геометричний" з тієї ж причини міг би бути застосований так само легко, як і для багатьох інших регулярних рядів, включаючи ті, які зараз називаються "арифметичні").

Функція масової ймовірності геометричного розподілу з параметром утворює геометричну прогресію $p$

p, p (1 - p), p (1 - p)^{2}, \dots, p (1 - p)^{n}, \dots .

$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$

Тут загальна частка становить $1-p$ .

Кілька сотень років тому величезне узагальнення таких прогресій стало важливим у дослідженнях еліптичних кривих, диференціальних рівнянь та багатьох інших глибоко взаємопов'язаних областях математики. Узагальнення передбачає, що відносні пропорції серед послідовних доданків у положеннях і можуть змінюватися, але це обмежує характер цієї зміни: пропорції повинні бути заданою раціональною функцією . Оскільки вони переходять "над" або "поза" геометричної прогресії (для якої раціональна функція є постійною), їх називали гіпергеометричними від давньогрецького префіксу ("гіпер") . $k$ $k+1$ $k$ $\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$

Функція масової ймовірності гіпергеометричної функції з параметрами і має вигляд $N, K,$ $n$

p (k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

для відповідного . Тому співвідношення послідовних ймовірностей дорівнює $k$

\frac{p (k + 1)}{p (k)} = \frac{(K - k) (n - k)}{(k + 1) (N - K - n + k + 1)},

$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$

раціональна функція ступеня . Це ставить ймовірності в (особливий вид) гіпергеометричної прогресії. $k$ $(2,2)$

— дзижчати
джерело

Спасибі! Чи існують інші розподіли, PMF також утворюють геометричні чи гіпергеометричні прогресії?

— Тім

Якщо pmf утворює геометричну прогресію, то вона повинна бути зміщеною, переосмисленою та / або усіченою геометричною розподілом. Якщо вона формує гіпергеометричну прогресію ступеня (2,2), то існує аналогічний висновок. Існують розподіли, пов'язані з будь-яким рядом, який підсумовує кінцевому значенню, і тому гіпергеометричний розподіл узагальнюється до багатьох інших розподілів (за допомогою різних раціональних функцій). Більшість із них не мають імен. Один виняток - негативний біноміальний розподіл , PMF - гіпергеометричний ступінь (1,1).

— whuber

Спасибі! Чи формує pmf розподілу Пуассона якісь спеціальні серії / прогресії? Враховуючи розподіл отруєння з параметром швидкості , тоді . Формує pmf якийсь спеціальний ряд чи прогресію?

λ

$\lambda$

p (k + 1) / p (k) = λ / (k + 1)

$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

— Тим

Так, це раціональна функція ступеня (0,1), тому вона відповідає загальному визначенню гіпергеометричної прогресії.

— whuber

Згідно з одним джерелом , це тому, що для геометричного розподілу pmf (k) - середнє геометричне pmf (k-1) та pmf (k + 1). Середнє геометричне значення двох чисел A і B дорівнює . Класично ця проблема була інтерпретована як знаходження довжини сторін квадрата з площею, що дорівнює прямокутнику зі сторонами довжини A і B, геометричною задачею. $\sqrt{A B}$

— веришуай
джерело

Ваше джерело вдається до типу міркувань, про які я говорив (дещо еліптично) на початку своєї відповіді. В Інтернеті повно людей, які висловлюють одне і те ж твердження, але оскільки геометрично однаково легко знайти середнє арифметичне як середнє геометричне, врешті-решт ця властивість (мати "геометричну" конструкцію) не пояснює нічого. Було б дуже цікаво знайти авторитет, який зможе відстежити фактичні історичні використання "геометричної" та "арифметичної", щоб допомогти нам зрозуміти, як справді виникли ці терміни.

— whuber