Інтуїтивне пояснення внеску в суму двох нормально розподілених випадкових величин

Якщо у мене є дві нормально розподілені незалежні випадкові величини $X$ і $Y$ із значеннями $\mu_X$ і $\mu_Y$ та стандартними відхиленнями $\sigma_X$ і $\sigma_Y$ і я виявляю, що $X+Y=c$ , то (припускаючи, що я не допустив жодних помилок) умовний розподіл з $X$ і $Y$ заданих $c$ , також зазвичай розподіляються за допомогою

μ_{X | c} = μ_{X} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{X}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{X|c} = \mu_X + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_X^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

і стандартне відхилення

μ_{Y | c} = μ_{Y} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{Y|c} = \mu_Y + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

σ_{X | c} = σ_{Y | c} = \sqrt{\frac{σ_{X}^{2} σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}} .

$\sigma_{X|c} = \sigma_{Y|c} = \sqrt{ \frac{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}}.$

Не дивно, що умовні стандартні відхилення є такими ж, як і для , якщо одне піднімається, інше повинне знизитися на стільки ж. Цікаво, що умовне стандартне відхилення не залежить від . $c$ $c$

Те, що я не можу об'їхати, - це умовні засоби, де вони приймають частку надлишку пропорційну вихідним дисперсіям, а не вихідним стандартним відхиленням. $(c - \mu_X - \mu_Y)$

Наприклад, якщо вони мають нульове значення, , а стандартні відхилення і то зумовлені ми мали б і , тобто у співвідношенні $\mu_X=\mu_Y=0$ $\sigma_X =3$ $\sigma_Y=1$ $c=4$ $E[X|c=4]=3.6$ $E[Y|c=4]=0.4$ $9:1$ хоч я б інтуїтивно подумав, що співвідношення буде більш природним. Чи може хтось дати інтуїтивне пояснення цьому? $3:1$

Це було спровоковане запитанням Math.SE

normal-distribution conditional-probability

— Генрі
джерело

Питання легко зводиться до справи , дивлячись на і . $\mu_X = \mu_Y = 0$ $X-\mu_X$ $Y-\mu_Y$

Очевидно, що умовні розподіли є нормальними. Таким чином, середня, медіана та мода кожного збігаються. Режими відбуватимуться за координатами локального максимуму двовимірного PDF-файлу і обмеженого кривою . Це означає, що контур двовимірного PDF у цьому місці та крива обмеження мають паралельні дотичні. (Це теорія множників Лагранжа.) Тому що рівняння будь-якого контуру має вигляд $X$ $Y$ $g(x,y) = x+y = c$ для деякої постійної (тобто всі контури є еліпсами), їх градієнти повинні бути паралельними, звідки існує така, що $f(x,y) = x^2/(2\sigma_X^2) + y^2/(2\sigma_Y^2) = \rho$ $\rho$ $\lambda$

(\frac{x}{σ_{X}^{2}}, \frac{y}{σ_{Y}^{2}}) = \nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y) = λ (1, 1) .

$\left(\frac{x}{\sigma_X^2}, \frac{y}{\sigma_Y^2}\right) = \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) = \lambda(1,1).$

введіть тут опис зображення

З цього випливає, що режими умовних розподілів (а отже, і засоби) визначаються співвідношенням дисперсій, а не SD.

$X$ $Y$

— дзижчати
джерело

Це дуже вражає, і більш повно, ніж я просив. Я був би задоволений діаграмою та твердженням, що дотична до еліпса не проходить через центр еліпса, тому дотична червона точка повинна приймати непропорційно більше від випадкової величини з більш високим стандартним відхиленням.

— Генрі

Це було недостатньо сформульовано. Я мав на увазі, що лінія від центру до червоної точки не перпендикулярна дотичній.

— Генрі