Розподіл згортки квадратних нормальних та чи-квадратних змінних?

наступна проблема виникла нещодавно під час аналізу даних. Якщо випадкова величина X слідує за нормальним розподілом, а Y слідує за розподілом $\chi^2_n$ (з n dof), як розподіляється $Z = X^2 + Y^2$ ? До цих пір я придумав pdf з $Y^2$ :

\begin{array}{rcl} ψ_{n}^{2} (x) & = & \frac{\partial F (\sqrt{x})}{\partial x} \\ = & {(\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{t^{n / 2 - 1} \cdot e^{- t / 2}}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} d t)}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} \cdot {(\sqrt{x})}^{n / 2 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \cdot {(\sqrt{x})}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2 - 1} Γ (n / 2)} \cdot x^{n / 4 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray}$

а також деякі спрощення інтегралу згортки ( має pdf $X^2$ $\chi^2_m$ з m dof):

\begin{array}{rcl} K_{m n} (t) & := & (χ_{m}^{2} * ψ_{n}^{2}) (t) \\ = & \int_{0}^{t} χ_{m}^{2} (x) \cdot ψ_{n}^{2} (t - x) d x \\ = & {(2^{\frac{(n + m)}{2} + 1} Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2}))}^{- 1} \cdot \int_{0}^{t} (t - x)^{\frac{n}{4} - 1} \cdot x^{\frac{m}{2} - 1} \cdot \exp (- (\sqrt{t - x} + x) / 2) d x \end{array}

$\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m \ast \psi^2_n )(t) \\ &=& \int_0^t \chi^2_m(x) \cdot \psi^2_n(t-x) \mathrm{d}x \\ &=& \left( 2^{\frac{(n+m)}{2}+1} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) \right)^{-1} \cdot \int_0^t (t-x)^{\frac{n}{4}-1} \cdot x^{\frac{m}{2}-1} \cdot \exp(-(\sqrt{t-x}+x)/2) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$

Хтось бачить хороший спосіб обчислення цього інтеграла для будь-якого реального t або його потрібно обчислити чисельно? Або я пропускаю набагато простіше рішення?

— Лев Сілард
джерело

Якби

не був у квадраті, я би мав кілька конкретних порад. Я не думаю, що це буде простежуваним (а також не обов'язково особливо просвічуючим, навіть якщо це доводиться прослідковувати). Мені б сподобатися подивитися на обчислювальні підходи, такі як числова згортка чи моделювання, залежно від того, що саме ви хочете зробити з результатом.

Y

$Y$

— Glen_b -Встановіть Моніку

На мою думку, малоймовірно, що інтеграл можна зробити.

— Dave31415

@ Dave31415 Для рівних

інтеграл можна явно обчислити для позитивних інтегральних значень

. Він буде дорівнювати лінійній комбінації експоненціалів та функцій помилок з коефіцієнтами, які є многочленами в

n

$n$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

. Оцінку можна здійснити за допомогою заміни

. Наприклад, при

отримаємо

\sqrt{t}

$\sqrt{t}$

x = t - u^{2}

$x=t-u^2$

n = 2, m = 4

$n=2,m=4$

\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{8} (2 \sqrt{t} + 1)^{2}} (e^{\frac{\sqrt{t}}{2}} (\sqrt{2 π} (4 t + 3) (erfi (\frac{2 \sqrt{t} - 1}{2 \sqrt{2}}) + erfi (\frac{1}{2 \sqrt{2}})) + 4 e^{\frac{1}{8}}) - 4 e^{\frac{t}{2} + \frac{1}{8}} (2 \sqrt{t} + 1))

$\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{8}(2\sqrt{t}+1)^2}(e^{\frac{\sqrt{t}}{2}}(\sqrt{2\pi} (4t+3)(\text{erfi}(\frac{2\sqrt{t}-1}{2\sqrt{2}})+\text{erfi}(\frac{1}{2\sqrt{2}}))+4e^\frac{1}{8})-4 e^{\frac{t}{2}+\frac{1}{8}}(2\sqrt{t}+1))$

Nice. For odd numbers, you could probably approximate it with the average of the result for bounding even numbers? Or maybe not.

— Dave31415

Thanks for your replies! For some even-even cases I got a similar result involving Dawson's function, but it looks like I'll have to do some more work for a general solution...

— Leo Szilard

In case it helps, the variable $Y^2$ is a generalised gamma random variable (see e.g., Stacy 1962). Your question is asking for the distribution of the sum of a chi-squared random variable and a generalised gamma random variable. To my knowledge, the density of the resultant variable has no closed form expression. Hence, the convolution you have obtained is an integral with no closed form solution. I think you're going to be stuck with a numerical solution for this one.

Stacy, E.W. (1962). A Generalization of the Gamma Distribution. Annals of Mathematical Statistics 33(3), pp. 1187-1192.

— Reinstate Monica
джерело

This is a hint only. Pearson type III can be Chi-squared. Sometimes a convolution can be found by convolving something with itself. I managed to do this for convolving ND and GD, for which I convolved a Pearson III with itself. How this works with ND $^2$ and Chi-Squared, I am not sure. But, you asked for hints, and this is a general hint. That should be enough to get you started, I hope.

— Carl
джерело

Чи можете ви пояснити, як це відповідає на запитання? Це не здається безпосередньо пов’язаним.

— whuber

Згортання Пірсона III типу можна зробити самим собою. Чомусь поєднання однієї речі з собою легше вирішити, ніж поєднання однієї речі з іншою. Наприклад, я вирішив згортку Пірсона III типу і отримав згортки ND з GD, пов'язаною з цим проблемою.

— Карл

Здається, це не допомогло, видаляється незабаром.

— Карл