Чому не добре робити співвідношення Пірсона щодо даних про пропорції?

Інтернет-модуль, який я вивчаю, стверджує, що ніколи не слід використовувати співвідношення Пірсона з пропорційними даними. Чому ні?

Або якщо іноді це нормально або завжди добре, то чому?

Це у випадку, коли декілька змінних сумуються разом до 1 у кожному спостереженні. Моя відповідь буде рівнем інтуїції; це навмисно (і також я не є експертом композиційних даних).

Нехай є iid (отже, з нульовою кореляцією) позитивні змінні величини, які ми потім підсумовуємо і перераховуємо як пропорції цієї суми. Тоді,

• У випадку двох змінних V1 V2 , якщо кажуть, що V1 вільно змінюється, то V2 не має місця для свободи (оскільки V1 + V2 = константа) і повністю фіксований; чим більше V1, тим менше V2, тим менше V1, тим більше V2. Їх співвідношення становить лише і завжди так.$-1$
• У випадку 3 змінних V1 V2 V3 , якщо сказано, що V1 вільно змінюється, то V2 + V3 є фіксованим; що означає, що всередині (V2 + V3) кожна з двох змінних все ще частково вільна: вони в середньому фіксуються в рази кожна, повністю фіксована загалом. Отже, якщо будь-яку з трьох змінних прийняти як вільну (як ми взяли V1), будь-яка з двох інших змін очікується фіксованою. Так що співвідношення між ними становить . Це очікувана кореляція; він може відрізнятися від зразка до зразка.1 / 2 - $1/2$$1/2$$-0.5$
• У випадку 4 змінних V1 V2 V3 V4 за тим же міркуванням ми маємо те, що якщо ми візьмемо будь-яку з чотирьох як вільну, то будь-яка з решти, як очікується, буде фіксованою на ; Таким чином, очікувана кореляція між будь-якою парою з чотирьох - одна вільна, а інша - як фіксованої - становить .1 / 3 - $1/3$$1/3$$-0.333$
• Зі збільшенням кількості (спочатку iid) змінних очікувана попарна кореляція зростає від негативної до , а її варіація від вибірки до вибірки стає більшою.$0$

Відеопосилання вашого коментаря задає контекст композиції, яку також можна назвати сумішами. У цих випадках сума частки кожного компонента дорівнює 1. Наприклад, Повітря - це 78% азоту, 21% кисню та 1% інших (загальна 100%). Враховуючи, що кількість одного компонента повністю визначається іншими, будь-які два компоненти матимуть ідеальне багатолінійне співвідношення. Для повітряного прикладу ми маємо:

$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1$

так то:

$x_{1} = 1 - x_{2} - x_{3}$

$x_{2} = 1 - x_{1} - x_{3}$

$x_{3} = 1 - x_{1} - x_{2}$

Тож якщо ви знаєте будь-які два компоненти, третій одразу відомий.

Загалом обмеження щодо сумішей є

$\sum_{i=1}^{q} x_{i} = 1$

Це обмеження робить рівні факторів невідмінними.$x_{i}$

Ви можете обчислити кореляцію між двома компонентами, але це не інформативно , оскільки вони завжди співвідносяться. Докладніше про композиційний аналіз можна прочитати в " Аналіз даних, виміряних як пропорційний склад" .

Ви можете використовувати кореляцію, коли дані про пропорції є з різних областей. Скажіть, що ваша відповідь - частка мертвих пікселів на РК-екрані. Ви можете спробувати співвіднести це, скажімо, з фракцією гелію, що використовується на етапі хімічної обробки екрану.

Це глибоке запитання, яке має деякі тонкощі. Я постараюся зробити все можливе, але, хоч я опублікував цю тему ( Пропорційність: Дійсна альтернатива кореляції відносних даних ), я завжди готовий здивуватися новим розумінням аналізу даних, що містять лише відносну інформацію.

Як вказували учасники цього потоку, кореляція є горезвісною (в деяких колах) тим, що вона є безглуздою при застосуванні до композиційних даних, що виникає, коли набір компонентів обмежений для додавання до константи (як ми бачимо з пропорціями, відсотками, частин на мільйон тощо).

Карл Пірсон угадав про це помилкову кореляцію . (Примітка. Популярний сайт Шляпової кореляції Тайлера Вігена - не стільки про помилкову кореляцію, скільки на помилку " кореляція передбачає причинну причину ".)

Розділ 1.7 "Короткого посібника з аналізу композиційних даних" Aitchison (2003) дає класичну ілюстрацію того, чому кореляція є невідповідним заходом для об'єднання композиційних даних (для зручності, цитованих у цій додатковій інформації .

Композиційні дані виникають не лише тоді, коли набір невід’ємних компонентів робиться для підсумовування константи; Дані, як кажуть, є композиційними, коли вони несуть лише відносну інформацію.

Я думаю, що основна проблема співвідношення даних, які несуть лише відносну інформацію, полягає в інтерпретації результату. Це питання, яке ми можемо проілюструвати однією змінною; скажімо, "пончики, вироблені за долар ВВП" для країн світу. Якщо цінність одного народу вища за іншу, це тому, що

• виробництво їх пончиків вище?
• їх ВВП нижчий?

... хто може сказати?

Звичайно, коли люди зауважують про цю нитку, можна обчислити співвідношення цих видів змінних як описову змінну. Але що означають такі кореляції?

У мене було те саме питання. Я вважав цю посилання на biorxiv корисною:

Lovell D., V. Pawlowsky-Glahn, J. Egozcue, S. Marguerat, J. Bähler (2014),
"Пропорційність: допустима альтернатива кореляції для відносних даних"

У підтверджуючій інформації цього документу (Lovell, David, et al.; Doi: dx.doi.org/10.1101/008417) автори зазначають, що кореляції між відносним достатнім числом не дають жодної інформації в деяких випадках. Вони наводять приклад відносної кількості двох експресій мРНК. На малюнку S2 відносні достатки двох різних мРНК ідеально негативно корелюють, хоча кореляція цих двох мРНК в абсолютних значеннях негативно не пов'язана (зелені та фіолетові точки).

Можливо, це могло б вам допомогти.