Який розподіл евклідової відстані між двома нормально розподіленими випадковими змінними?

Припустимо, вам дано два об'єкти, точні місця яких невідомі, але розподілені відповідно до звичайних розподілів із відомими параметрами (наприклад, та . Можна припустити, що це обидві біваріантні нормали, так що положення описуються розподілом по координатам (тобто і - вектори, що містять очікувані координати для і відповідно). Ми також будемо вважати, що об'єкти є незалежними. $a \sim N(m, s)$ $b \sim N(v, t))$ $(x,y)$ $m$ $v$ $(x,y)$ $a$ $b$

Хтось знає, чи розподіл квадрата евклідової відстані між цими двома об’єктами є відомим параметричним розподілом? Або як аналітично отримати PDF / CDF для цієї функції?

normal-distribution distance-functions

— Нік
джерело

Ви повинні отримати кратне не центральне розподілення chi-квадрата за умови, що всі чотири координати не співвідносяться. В іншому випадку результат виглядає набагато складніше.

— whuber

@whuber будь-які деталі / покажчики, які ви могли б надати стосовно того, як параметри отриманого нецентрального розподілу chi-квадрата співвідносяться з параметрами об'єктів a, b було б фантастичним

— Нік

@Нік перші кілька пунктів статті у Вікіпедії містять деталі. Дивлячись на характерних функціях , які ви можете встановити , що подібний результат НЕ доступний , якщо не всі дисперсії однакові або є деякі кореляції.

— whuber

@ Nick, просто для уточнення, і і - випадкові вектори зі значеннями в ?

a

$a$

b

$b$

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

— mpiktas

@ Nick, якщо і спільно нормальні, то різниця є нормальною. Тоді ваша проблема полягає в пошуку розподілу випадкових нормальних векторів. Гуглінг Я знайшов це посилання . У статті описано набагато складнішу проблему, яка в конкретному випадку збігається з вашою. Це дає певну надію на те, що на ваше запитання є однозначна відповідь. Довідники можуть дати вам додаткові ідеї, де шукати.

a

$a$

b

$b$

a - b

$a-b$

— mpiktas

Відповіді:

Відповідь на це запитання можна знайти у книзі Квадратичні форми у випадкових змінних Mathai and Provost (1992, Marcel Dekker, Inc.).

Як уточнюють коментарі, вам потрібно знайти розподіл де слідує за двомаріантним нормальним розподілом із середнім та матрицею коваріації . Це квадратична форма у двовимірній випадковій величині . $Q = z_1^2 + z_2^2$ $z = a - b$ $\mu$ $\Sigma$ $z$

Коротко кажучи, один приємний загальний результат для -вимірного випадку, коли і - це те, що функцією, що генерує момент, є , де є власні і є лінійною функцією . Дивіться теорему 3.2a.2 (стор. 42) у цитованій вище книзі (тут ми припускаємо, що не є сингулярним). Ще одне корисне подання - 3.1a.1 (стор. 29) де $p$ $z \sim N_p(\mu, \Sigma)$

Q = \sum_{j = 1}^{p} z_{j}^{2}

$Q = \sum_{j=1}^p z_j^2$

E (e^{t Q}) = e^{t \sum_{j = 1}^{p} \frac{b_{j}^{2} λ_{j}}{1 - 2 t λ_{j}}} \prod_{j = 1}^{p} (1 - 2 t λ_{j})^{- 1 / 2}

$E(e^{tQ}) = e^{t \sum_{j=1}^p \frac{b_j^2 \lambda_j}{1-2t\lambda_j}}\prod_{j=1}^p (1-2t\lambda_j)^{-1/2}$

λ_{1}, \dots, λ_{p}

$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$

Σ

$\Sigma$

b

$b$

μ

$\mu$

Σ

$\Sigma$

Q = \sum_{j = 1}^{p} λ_{j} (u_{j} + b_{j})^{2}

$Q = \sum_{j=1}^p \lambda_j(u_j + b_j)^2$

u_{1}, \dots, u_{p}

$u_1, \ldots, u_p$ - .

N (0, 1)

$N(0, 1)$

Весь розділ 4 книги присвячений представленню та обчисленню щільності та функцій розподілу, що зовсім не банально. Я лише поверхово знайомий з книгою, але моє враження, що всі загальні уявлення складаються з точки зору нескінченного розширення серії.

Отже, певним чином відповідь на питання полягає в тому, що розподіл квадратичної евклідової відстані між двома квадратичними нормальними векторами належить до відомого (і добре вивченого) класу розподілів, параметризованого чотирма параметрами і . Однак я впевнений, що ви не знайдете цього розподілу у своїх стандартних підручниках. $\lambda_1, \lambda_2 > 0$ $b_1, b_2 \in \mathbb{R}$

Крім того, зауважте, що і не повинні бути незалежними. Нормальність суглобів достатня (що є автоматичним, якщо вони незалежні і кожен нормальний), то різниця слід за нормальним розподілом. $a$ $b$ $a-b$

— NRH
джерело

Дякую за довідку, я знайшов книгу і поволі намагаюся пробитися через неї

— Нік,

@NRH Я сам працював через MGF в симетричному випадку ( ), де а замість у підсумовуванні, я маю . Моделювання перевіряє перший момент. Цілком можливо, що це "лінійна функція", яку ви згадуєте, і що це властиво симетричному випадку, але я подумав, що я зазначу це у випадку помилки.

λ_{j} = σ^{2}

$\lambda_j = \sigma^2$

p = 2

$p=2$

b_{j}^{2} λ_{j}

$b_j^2 \lambda_j$

μ_{j}^{2}

$\mu_j^2$

— kyle

Насправді, виходячи з їхнього визначення , чисельник в експоненціалі дійсно зменшується до у симетричному (незалежних розмірах із загальною дисперсією) випадку.

b_{j}

$b_j$

μ_{j}^{2}

$\mu_j^2$

— Кайл

Спочатку визначте двовимірний розподіл вектора різниці , який буде просто ; це випливає з багатовимірного поширення невизначеності , залучаючи матрицю діагоналі блоку та якобійський . $\mu_d = \mu_1 - \mu_2$ $\Sigma_d = \Sigma_1 + \Sigma_2$ $\Sigma_d = \mathrm{J} \Sigma_{12} \mathrm{J}^T$ $\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & \\ & \Sigma_2 \end{bmatrix}$ $\mathrm{J} = \begin{bmatrix} +\mathrm{I}, & -\mathrm{I} \end{bmatrix}$

По-друге, шукайте розподіл довжини вектора різниці або радіальну відстань від початку, яке розподіляє Хойт :

Радіус навколо справжнього середнього у двовимірній корельованій нормальній випадковій величині з неоднаковими дисперсіями, переписаними полярними координатами (радіус і кут), слід розподілу Хойта. Pdf та cdf визначаються у закритому вигляді, для знаходження cdf ^ −1 використовується числовий кореневий пошук. Зводиться до розподілу Релея, якщо кореляція дорівнює 0, а дисперсії рівні.

Більш загальне розподіл виникає, якщо ви допускаєте зміщення різниць (зміщене походження), з балістичної медицини :

— Феліпе Г. Невінський
джерело

+1, але я думаю, що варто зазначити, що питання стосується того, що ваша фігура називає "загальною справою".

— Амеба каже, що повернеться Моніка

Чому б не перевірити його?

set.seed(347)
x <- rnorm(10000)
y <- rnorm(10000)
x2 <- rnorm(10000)
y2 <- rnorm(10000)

qdf <- data.frame(x,y,x2,y2)
qdf <- data.frame(qdf,(x-x2)^2+(y-y2)^2)
colnames(qdf)[5] <- "euclid" 

plot(c(x,y),c(x2,y2))
plot(qdf$euclid)
hist(qdf$euclid) 
plot(dentist(qdf$euclid))

Сюжет 1 Сюжет 2 Сюжет 3 Сюжет 4

— Брендон Бертельсен
джерело

У коментарях балачок до оригінального питання вже було зазначено, як виглядатиме, якби відхилення були однаковими, а змінні не співвідносяться. Можливо, приклад того, що це не так, було б більш освічуючим.

— Andy W

Чи можете ви навести такий приклад?

— Брендон Бертелсен

все, що вам потрібно зробити, - це генерувати значення x і y, які є корельованими або мають різні відхилення. Різні відхилення можна зробити прямо в коді, як є. Ви можете генерувати значення з вказаної коваріаційної матриці за допомогою mvrnorm з пакету MASS. Також я не впевнений, яка функція "стоматолог" є у наведеному вище коді, чи може це бути "щільність".

— Енді Ш

Це, мабуть, настільки ж просвітливо працювати через математику, щоб зрозуміти, чому це так (і як маніпулювання дисперсією / коваріацією змінить розподіл). Для мене не зовсім зрозуміло, чому це так, лише переглянувши характерну функцію, яку згадує whuber. Схоже, що просте розуміння правил додавання, віднімання та множення випадкових змінних допоможе вам зрозуміти, чому це так.

— Andy W