Як інтерпретувати навантаження PCA?

Читаючи про PCA, я натрапив на таке пояснення:

Припустимо, у нас є набір даних, де кожна точка даних являє собою одиничні бали учнів у математичному тесті, фізичному тесті, тесті на читання та тесті словникового запасу.

Ми знаходимо перші два основні компоненти, які фіксують 90% змінності даних та інтерпретують їх завантаження. Ми робимо висновок, що перший основний компонент являє собою загальну академічну здатність, а другий - контраст між кількісною здатністю та словесною здатністю.

У тексті зазначено, що навантаження PC1 і PC2 є для PC1 і ( 0,5 , 0,5 , - 0,5 , - 0,5 ) для PC2, і пропонується таке пояснення:$(0.5, 0.5, 0.5, 0.5)$$(0.5, 0.5, -0.5, -0.5)$

[T] перший компонент пропорційний середньому балу, а другий компонент вимірює різницю між першою парою балів та другою парою балів.

Я не в змозі зрозуміти, що означає це пояснення.

Навантаження (яке не слід плутати з власними векторами) мають такі властивості:

1. Їх суми квадратів у межах кожного компонента - це власні значення (відхилення компонентів).
2. Навантаження - це коефіцієнти в лінійній комбінації, що передбачає зміну (стандартизованими) компонентами.

$\bf A$

A (loadings)
         PC1           PC2
X1   .5000000000   .5000000000 
X2   .5000000000   .5000000000 
X3   .5000000000  -.5000000000 
X4   .5000000000  -.5000000000
Eigenvalues:
    1.0000000000  1.0000000000

У цьому випадку обидва власні значення однакові. Це рідкісний випадок у реальному світі, він говорить, що PC1 і PC2 мають однакову пояснювальну "силу".

Nx2$\bf C$$\bf \hat {X}=CA'$$\bf A$$\bf \hat {X}$

$\bf A$4x4$\bf B=(A^{-1})'$$\bf B= A \cdot diag(eigenvalues)^{-1}=(A^+)'$diag(eigenvalues)являє собою квадратну діагональну матрицю з власними значеннями на її діагоналі, а +надпис позначає псевдоінверс. У вашому випадку:

diag(eigenvalues):
1 0
0 1

B (coefficients to predict components by original variables):
    PC1           PC2
X1 .5000000000   .5000000000 
X2 .5000000000   .5000000000 
X3 .5000000000  -.5000000000 
X4 .5000000000  -.5000000000

$\bf X$Nx4$\bf C=XB$$\bf C$

PC1 = 0,5 * X1 + 0,5 * X2 + 0,5 * X3 + 0,5 * X4 ~ (X1 + X2 + X3 + X4) / 4

"перший компонент пропорційний середньому балу"

PC2 = 0,5 * X1 + 0,5 * X2 - 0,5 * X3 - 0,5 * X4 = (0,5 * X1 + 0,5 * X2) - (0,5 * X3 + 0,5 * X4)

"другий компонент вимірює різницю між першою парою балів і другою парою балів"

$\bf B=A$

$\bf B= A \cdot diag(eigenvalues)^{-1}$$\bf B=R^{-1}A$$\bf R$будучи коваріаційною (або кореляційною) матрицею змінних. Остання формула походить безпосередньо з теорії лінійної регресії. Дві формули є еквівалентними лише в контексті PCA. При факторному аналізі їх немає, а для обчислення балів факторів (які завжди є приблизними у ФА) слід покладатися на другу формулу.

Відповідні мої відповіді:

Більш детально про навантаження проти власних векторів .

Як обчислюються основні бали компонентів та коефіцієнти .