Уточнення в геометрії інформації

Це питання стосується статті " Диференціальна геометрія криволінійних експоненціальних сімей-кривизни та втрати інформації " Амарі.

Текст йде так.

Нехай - -вимірне множина розподілів ймовірностей з системою координат , де $S^n=\{p_{\theta}\}$ $n$ $\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)$ $p_{\theta}(x)>0$ передбачається ...

Ми можемо розглядати кожну точку & з як несуча функція з ... $\theta$ $S^n$ $\log p_{\theta}(x)$ $x$

Нехай - дотичний простір на , який, грубо кажучи, ототожнюється з лінеаризованою версією невеликого сусідства в . Нехай є природною основою пов'язаної з координованою системою ... $T_{\theta}$ $S^n$ $\theta$ $\theta$ $S^n$ $e_i(\theta), i=1,\dots,n$ $T_{\theta}$

Так як кожна точка & з несе функцію з , то природно розглядати при & як представляє функцію $\theta$ $S^n$ $\log p_{\theta}(x)$ $x$ $e_i(\theta)$ $\theta$

e_{i} (θ) = \frac{\partial}{\partial θ_{i}} \log p_{θ} (x) .

$e_i(\theta)=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x).$

Я не розумію останнього твердження. Це з’являється у розділі 2 вищезгаданого документу. Як основу дотичного простору дає наведене вище рівняння? Було б корисно, якщо хтось із цієї спільноти, знайомий з подібними матеріалами, може допомогти мені зрозуміти це. Дякую.

Оновлення 1:

Хоча я згоден, що (від @aginensky), якщо лінійно незалежні, ніж $\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}$ також лінійно незалежні, як це члени дотичного простору в першу чергу не дуже зрозуміло. То як можна $\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$ вважати основою дотичного простору. Будь-яка допомога вдячна. $\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$

Оновлення 2:

@aginensky: У своїй книзі Амарі говорить наступне:

Розглянемо випадок, коли , сукупність усіх (строго) позитивних мір імовірностей на , де ми розглядаємо як підмножину . Насправді - відкрита підмножина афінного простору $S^n=\mathcal{P}(\mathcal{X})$ $\mathcal{X}=\{x_0,\dots,x_n\}$ $\mathcal{P}(\mathcal{X})$ $\mathbb{R}^{\mathcal{X}}=\{X\big|X:\mathcal{X}\to \mathbb{R}\}$ $\mathcal{P}(\mathcal{X})$ . $\{X\big |\sum_x X(x)=1\}$

Тоді дотичне простір з в кожній точці , природно , можуть бути ідентифіковані з лінійним подпространством . Для природної основи $T_p(S^n)$ $S^n$ $\mathcal{A}_0=\{X\big |\sum_x X(x)=0\}$ системи координати, маємо $\frac{\partial}{\partial\theta_i}$ $\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)$ . $(\frac{\partial}{\partial\theta_i})_{\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}$

Далі візьмемо ще одне вбудовування та ототожнюємо із підмножини з . Потім дотичний вектор представлений результатом операції до , який позначимо через . Зокрема, у нас є $p\mapsto \log p$ $S^n$ $\log S^n:=\{\log p\big |p\in S^n\}$ $\mathbb{R}^{\mathcal{X}}$ $X\in T_p(S^n)$ $X$ $p\mapsto \log p$ $X^{(e)}$ . Очевидно, щоі що $(\frac{\partial}{\partial\theta_i})_{\theta}^{(e)}=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$ $X^{(e)}=X(x)/p(x)$

T_{p}^{(e)} (S^{n}) = {X^{(e)} | X \in T_{p} (S^{n})} = {A \in R^{X} | \sum_{x} A (x) p (x) = 0} .

$T_p^{(e)}(S^n)=\{X^{(e)}\big |X\in T_p(S^n)\}=\{A\in \mathbb{R}^{\mathcal{X}}\big |\sum_x A(x)p(x)=0\}.$

Моє запитання: Якщо обоє і $\frac{\partial}{\partial\theta_i}$ є основою для дотичного простору, тоді це не буде суперечити тому, щоі є різними і $(\frac{\partial}{\partial\theta_i})^{(e)}$ $T_p$ $T_p^{(e)}$ ? $\frac{\partial}{\partial\theta_i}^{(e)}\in T_p^{(e)}$

$S^n,T_p$ $(\log S^n,T_p^{(e)})$

— Ашок
джерело

e_{i} (θ) = \frac{\partial}{\partial θ_{i}} \log p_{θ} (x)

$e_i(\theta)=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x)$

θ_{i}

$\theta_{i}$

\frac{\partial}{\partial θ_{i}}

$\frac{\partial}{\partial\theta_i}$

p_{θ}

$p_{\theta}$

Я намагався відредагувати коментар для наочності, і мені це не дозволили. Повідомте мене, якщо ви хочете отримати більше деталей.

— meh

\frac{\partial}{\partial θ_{i}} \log p_{θ} (x) = 1 / p_{θ} (x) \frac{\partial}{\partial θ_{i}} p_{θ} (x)

$\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x)=1/p_{\theta}(x)\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}(x)$

{d θ_{i}}

$\{d\theta_i\}$

{\frac{\partial}{\partial θ_{i}}}

$\{\frac{\partial}{\partial\theta_i}\}$

d θ

$d\theta$

p_{θ}

$p_{\theta}$

Мої коментарі такі довгі, я викладаю їх як відповідь.

$R^n$ $R^n$ $R^n$ $R^n$ $R^n$

$S^n$ $\theta_{i}$ $p_{\theta}$ $S^n$ $p$ $p$ $\theta_{i}$ $R^n$ $p_{\theta}$ $p$

$\{1,2,3\}$ $\{a,b,c\}$ $R^{+}$ $R$ $>0$ і розглянути, що карта на дотичних просторах. Чи я нарешті розумію ваше запитання? Застереження в порядку, а саме те, що диференціальна геометрія не є моєю основною сферою знань. Я думаю, що я правильно це зробив, але не соромтесь критикувати або все-таки ставити під сумнів цю відповідь.

— мех
джерело

f_{*}

$f_{*}$

p

$p$

G = [g_{i, j}]

$G=[g_{i,j}]$

g_{i, j} = \sum_{x} \partial_{i} p_{θ} (x) \partial_{j} \log p_{θ} (x)

$g_{i,j}=\sum_x\partial_i p_{\theta}(x)~\partial_j\log p_{\theta}(x)$

\partial_{j} \log p_{θ}

$\partial_j\log p_{\theta}$